∫ cos 4 x · cos 2 x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a integranda é o produto das funções e
. Não há limites de integração (é indefinida), portanto o resultado terá constante de integração
.
Informações dadas: a integranda é o produto das funções
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto de cossenos em soma de cossenos. A identidade é
Vou mostrar rapidamente de onde vem essa identidade (é útil lembrar na prova): partimos das fórmulas de soma e subtração
Somando essas duas igualdades obtemos
que leva exatamente à identidade acima ao dividir por
.
Passo 3
Aplicamos a identidade ao nosso caso com
e
. Assim
Simplificando os argumentos,
Esta expressão é mais fácil de integrar, porque é soma de cossenos com constantes multiplicativas.
Passo 4
Substituímos na integral:
Fatoramos o
:
Passo 5
Usamos a regra básica de integração de cosseno: para constante real
,
Aqui
é a constante multiplicando
. A razão é que derivando
obtemos
, então para ajustar basta dividir por
.
Passo 6
Aplicando a regra termo a termo:
e
Passo 7
Somando as duas partes e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando o resultado deve voltar o integrando. Derivando
obtemos
. Derivando
obtemos
. Somando dá
, que é exatamente
pela identidade usada. Tudo confere.