∫ cos 4 x · cos 2 x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos 4x \cdot \cos 2x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto das funções \cos 4x e \cos 2x. Não há limites de integração (é indefinida), portanto o resultado terá constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto de cossenos em soma de cossenos. A identidade é
\cos u \cos v = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u-v)+\cos(u+v)\bigr).
Vou mostrar rapidamente de onde vem essa identidade (é útil lembrar na prova): partimos das fórmulas de soma e subtração
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v
\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.
Somando essas duas igualdades obtemos
\cos(u+v)+\cos(u-v)=2\cos u\cos v,
que leva exatamente à identidade acima ao dividir por 2.

Passo 3

Aplicamos a identidade ao nosso caso com u=4x e v=2x. Assim
\cos 4x\cos 2x = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(4x-2x)+\cos(4x+2x)\bigr).
Simplificando os argumentos,
\cos 4x\cos 2x = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos 2x + \cos 6x\bigr).
Esta expressão é mais fácil de integrar, porque é soma de cossenos com constantes multiplicativas.

Passo 4

Substituímos na integral:
\int \cos 4x\cos 2x \, dx = \int \tfrac{1}{2}\bigl(\cos 2x + \cos 6x\bigr)\,dx.
Fatoramos o \tfrac{1}{2}:
\int \cos 4x\cos 2x \, dx = \tfrac{1}{2}\int \bigl(\cos 2x + \cos 6x\bigr)\,dx.

Passo 5

Usamos a regra básica de integração de cosseno: para constante real a,
\int \cos(ax)\,dx = \tfrac{1}{a}\sin(ax)+C.
Aqui a é a constante multiplicando x. A razão é que derivando \sin(ax) obtemos a\cos(ax), então para ajustar basta dividir por a.

Passo 6

Aplicando a regra termo a termo:
\tfrac{1}{2}\int \cos 2x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\sin 2x = \tfrac{1}{4}\sin 2x,
e
\tfrac{1}{2}\int \cos 6x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{6}\sin 6x = \tfrac{1}{12}\sin 6x.

Passo 7

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
\int \cos 4x\cos 2x \, dx = \tfrac{1}{4}\sin 2x + \tfrac{1}{12}\sin 6x + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando o resultado deve voltar o integrando. Derivando \tfrac{1}{4}\sin 2x obtemos \tfrac{1}{4}\cdot 2\cos 2x=\tfrac{1}{2}\cos 2x. Derivando \tfrac{1}{12}\sin 6x obtemos \tfrac{1}{12}\cdot 6\cos 6x=\tfrac{1}{2}\cos 6x. Somando dá \tfrac{1}{2}(\cos 2x+\cos 6x), que é exatamente \cos 4x\cos 2x pela identidade usada. Tudo confere.

Resposta

\tfrac{1}{4}\sin 2x + \tfrac{1}{12}\sin 6x + C

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