∫ cos 2 x cos 5 x dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas e
. A resposta deve ser uma primitiva (ou seja, a função cuja derivada é a integranda), mais uma constante de integração
.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): transformar o produto de cossenos em soma de cossenos usando uma identidade trigonométrica simples. Essa identidade facilita porque integrar soma de cossenos é direto.
Apresento a identidade e explico de onde vem. A identidade é
Derivação rápida (útil para decorar com entendimento): usamos as fórmulas de adição
e
Somando as duas equações obtemos
logo
Essa identidade é muito prática na prova: transforma produto em soma.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
:
Calcule os argumentos:
Como
, isso dá
Passo 4
Substituímos na integral:
Podemos puxar o fator constante
para fora da integral:
Passo 5
Integrar termo a termo. Lembrete útil: a primitiva de
é
, porque
. Aplicando isso:
Para
:
Para
:
Então
Passo 6
Simplificando os coeficientes:
Portanto a primitiva é
onde
é a constante de integração. (Opcional: se quiser juntar em um só denominador, dá
.)