∫ cos 2 x cos 5 x dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos 2x \cos 5x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas \cos 2x e \cos 5x. A resposta deve ser uma primitiva (ou seja, a função cuja derivada é a integranda), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): transformar o produto de cossenos em soma de cossenos usando uma identidade trigonométrica simples. Essa identidade facilita porque integrar soma de cossenos é direto.
Apresento a identidade e explico de onde vem. A identidade é
\cos u \cos v = \frac{1}{2}\big(\cos(u+v)+\cos(u-v)\big).
Derivação rápida (útil para decorar com entendimento): usamos as fórmulas de adição
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v
e
\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.
Somando as duas equações obtemos
\cos(u+v)+\cos(u-v)=2\cos u\cos v,
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\cos u\cos v=\frac{1}{2}\big(\cos(u+v)+\cos(u-v)\big).
Essa identidade é muito prática na prova: transforma produto em soma.

Passo 3

Aplicando a identidade com u=2x e v=5x:
\cos 2x \cos 5x = \frac{1}{2}\big(\cos(2x+5x)+\cos(2x-5x)\big).
Calcule os argumentos:
2x+5x=7x,\qquad 2x-5x=-3x.
Como \cos(-3x)=\cos 3x, isso dá
\cos 2x \cos 5x = \frac{1}{2}\big(\cos 7x + \cos 3x\big).

Passo 4

Substituímos na integral:
\int \cos 2x \cos 5x \, dx = \int \frac{1}{2}\big(\cos 7x + \cos 3x\big)\, dx.
Podemos puxar o fator constante \tfrac{1}{2} para fora da integral:
\int \cos 2x \cos 5x \, dx = \frac{1}{2}\int \big(\cos 7x + \cos 3x\big)\, dx.

Passo 5

Integrar termo a termo. Lembrete útil: a primitiva de \cos(kx) é \tfrac{1}{k}\sin(kx), porque \dfrac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx). Aplicando isso:
Para \cos 7x:
\int \cos 7x \, dx = \frac{1}{7}\sin 7x.
Para \cos 3x:
\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3}\sin 3x.
Então
\frac{1}{2}\int \big(\cos 7x + \cos 3x\big)\, dx = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}\sin 7x + \frac{1}{3}\sin 3x\right).

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{14},\qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Portanto a primitiva é
\frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{6}\sin 3x + C,
onde C é a constante de integração. (Opcional: se quiser juntar em um só denominador, dá \dfrac{3\sin 7x + 7\sin 3x}{42}+C.)

Resposta

\dfrac{1}{14}\sin 7x + \dfrac{1}{6}\sin 3x + C

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