∫ sen^{3} x · cos ^{4} x dx

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função
\int \sin^{3}x\cdot\cos^{4}x\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O integrando é \sin^{3}x\cdot\cos^{4}x.
  • O expoente de \sin x é ímpar ( 3) e o expoente de \cos x é par ( 4).
  • Devemos incluir a constante de integração C ao final.

Passo 2

Por que vamos escolher o método que vou usar: quando numa integral de potências de seno e cosseno um dos expoentes é ímpar, a técnica padrão é separar um fator do seno (ou do cosseno) e usar a identidade \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 para trocar \sin^{2}x (ou \cos^{2}x) por 1-\cos^{2}x (ou 1-\sin^{2}x), ficando então com uma substituição conveniente. Aqui o expoente de \sin x é ímpar, então vamos separar um \sin x e usar u=\cos x, porque du=-\sin x\,dx — isso encaixa perfeitamente.

Passo 3

Reescrever a integral separando um fator \sin x:
\int \sin^{3}x\cdot\cos^{4}x\,dx = \int (\sin^{2}x)\,\sin x\cdot\cos^{4}x\,dx.
Usamos a identidade pitagórica para \sin^{2}x:
\sin^{2}x = 1-\cos^{2}x.
Substituindo:
\int \sin^{3}x\cdot\cos^{4}x\,dx = \int (1-\cos^{2}x)\,\sin x\cdot\cos^{4}x\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição u=\cos x. Então calculamos du:
u=\cos x \quad\Rightarrow\quad du = -\sin x\,dx \quad\Rightarrow\quad \sin x\,dx = -du.
Substituindo na integral:
\int (1-\cos^{2}x)\,\sin x\cdot\cos^{4}x\,dx = -\int (1-u^{2})\,u^{4}\,du.
Expliquei: troquei \cos x por u em todos os fatores e \sin x\,dx por -du.

Passo 5

Expandir o integrando em u:
-\int (1-u^{2})\,u^{4}\,du = -\int \big(u^{4}-u^{6}\big)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo usando a regra da potência: \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
-\int \big(u^{4}-u^{6}\big)\,du = -\left(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}\right)+C.

Passo 7

Simplificar o sinal e voltar à variável x substituindo u=\cos x:
-\left(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}\right)+C = -\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}+C = -\frac{\cos^{5}x}{5}+\frac{\cos^{7}x}{7}+C.
Opção de escrita alternativa (fatorando \cos^{5}x):
\cos^{5}x\!\left(-\frac{1}{5}+\frac{\cos^{2}x}{7}\right)+C,
mas a forma direta acima já é uma primitiva válida.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta para checar se volta ao integrando. Diferenciando
-\frac{\cos^{5}x}{5}+\frac{\cos^{7}x}{7}
vem
-\frac{5\cos^{4}x\cdot(-\sin x)}{5}+\frac{7\cos^{6}x\cdot(-\sin x)}{7} = \cos^{4}x\sin x - \cos^{6}x\sin x = \sin x\cos^{4}x(1-\cos^{2}x) = \sin^{3}x\cos^{4}x,
que é exatamente o integrando — está correto!

Resposta

-\dfrac{\cos^{5}x}{5}+\dfrac{\cos^{7}x}{7}+C

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