∫ sen^{3} x · cos ^{4} x dx
Passo 1
O que o exercício pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O integrando é
. - O expoente de
é ímpar ( ) e o expoente de é par ( ). - Devemos incluir a constante de integração
ao final.
Passo 2
Por que vamos escolher o método que vou usar: quando numa integral de potências de seno e cosseno um dos expoentes é ímpar, a técnica padrão é separar um fator do seno (ou do cosseno) e usar a identidade
para trocar
(ou
) por
(ou
), ficando então com uma substituição conveniente. Aqui o expoente de
é ímpar, então vamos separar um
e usar
, porque
— isso encaixa perfeitamente.
Passo 3
Reescrever a integral separando um fator
:
Usamos a identidade pitagórica para
:
Substituindo:
Passo 4
Fazer a substituição
. Então calculamos
:
Substituindo na integral:
Expliquei: troquei
por
em todos os fatores e
por
.
Passo 5
Expandir o integrando em
:
Passo 6
Integrar termo a termo usando a regra da potência:
.
Aplicando:
Aplicando:
Passo 7
Simplificar o sinal e voltar à variável
substituindo
:
Opção de escrita alternativa (fatorando
):
mas a forma direta acima já é uma primitiva válida.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta para checar se volta ao integrando. Diferenciando
vem
que é exatamente o integrando — está correto!