∫ sen^{5} x · cos ^{2} x dx

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \sin^{5}x\cdot\cos^{2}x \, dx.
Informações dadas: a função a integrar é \sin^{5}x\cdot\cos^{2}x. Não há limites (é indefinida), então vamos encontrar uma primitiva (mais constante de integração).

Passo 2

Observação estratégica (por que escolhemos esse caminho): quando a potência de \sin x é ímpar, uma técnica eficiente é separar um fator \sin x para formar \sin x\,dx e usar a substituição u=\cos x (porque du=-\sin x\,dx). Para poder separar esse \sin x usamos a identidade fundamental
\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x.
Agora reescrevemos \sin^{5}x como \sin^{4}x\cdot\sin x e depois em termos de \cos x.

Passo 3

Reescrevendo a integral usando a identidade:
\sin^{5}x = \sin^{4}x\cdot\sin x = (\sin^{2}x)^{2}\sin x = (1-\cos^{2}x)^{2}\sin x.
Substituindo na integral:
\int \sin^{5}x\cdot\cos^{2}x \, dx = \int (1-\cos^{2}x)^{2}\cos^{2}x\cdot\sin x \, dx.
Agora fazemos a substituição u=\cos x, portanto
du = -\sin x \, dx \quad\Rightarrow\quad \sin x \, dx = -du.

Passo 4

Aplicando a substituição obtemos uma integral em polinômio:
\int (1-\cos^{2}x)^{2}\cos^{2}x\cdot\sin x \, dx = -\int (1-u^{2})^{2}u^{2} \, du.
Expandimos o integrando para facilitar a integração:
(1-u^{2})^{2}u^{2} = u^{2}(1 - 2u^{2} + u^{4}) = u^{2} - 2u^{4} + u^{6}.

Passo 5

Integramos termo a termo usando a regra da potência \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C:
-\int (u^{2} - 2u^{4} + u^{6}) \, du = -\left(\frac{u^{3}}{3} - 2\cdot\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}\right) + C.

Passo 6

Voltando à variável original x com u=\cos x, obtemos a primitiva:
-\frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciando para checar): derivando termo a termo usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{\cos^{3}x}{3}+\frac{2\cos^{5}x}{5}-\frac{\cos^{7}x}{7}\right) = \sin x\big(\cos^{2}x-2\cos^{4}x+\cos^{6}x\big) = \sin x\cos^{2}x(1-\cos^{2}x)^{2} = \sin^{5}x\cos^{2}x,
que é exatamente o integrando original, logo a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{\cos^{3}x}{3}+\dfrac{2\cos^{5}x}{5}-\dfrac{\cos^{7}x}{7}+C

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