∫ sen^{5} x · cos ^{2} x dx
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. Não há limites (é indefinida), então vamos encontrar uma primitiva (mais constante de integração).
Passo 2
Observação estratégica (por que escolhemos esse caminho): quando a potência de
é ímpar, uma técnica eficiente é separar um fator
para formar
e usar a substituição
(porque
). Para poder separar esse
usamos a identidade fundamental
Agora reescrevemos
como
e depois em termos de
.
Passo 3
Reescrevendo a integral usando a identidade:
Substituindo na integral:
Agora fazemos a substituição
, portanto
Passo 4
Aplicando a substituição obtemos uma integral em polinômio:
Expandimos o integrando para facilitar a integração:
Passo 5
Integramos termo a termo usando a regra da potência
:
Passo 6
Voltando à variável original
com
, obtemos a primitiva:
Passo 7
Verificação rápida (diferenciando para checar): derivando termo a termo usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando original, logo a primitiva está correta.