Se cos x for substituido por 1-(x^2 / 2) e |x|<0,5, qual estimativa podera ser feita do erro? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, temos um exercício em que vamos substituir a função cos x por 1 - (x^22), com a condição de que |x| < 0,5. O conteúdo principal aqui é a aproximação de funções usando séries de Taylor e a estimativa do erro dessa aproximação. Para resolver isso, vamos precisar entender como a série de Taylor para cos x funciona e como podemos estimar o erro dessa substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função cos x em torno de x = 0. A série de Taylor de cos x é dada por:
cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + dots
No nosso caso, estamos substituindo cos x por apenas os dois primeiros termos dessa série:
cos x approx 1 - x^22
Isso significa que estamos truncando a série depois do termo de x^2. Agora, queremos estimar o erro dessa aproximação.

Passo 3

Para estimar o erro da aproximação, usamos o termo de resto da série de Taylor. O Teorema de Taylor nos diz que o erro ao aproximar uma função pela série truncada está relacionado ao próximo termo da série. No caso de cos x, o próximo termo após -x^22 é x^424. Portanto, o erro pode ser estimado pelo valor absoluto desse próximo termo:
|R4(x)| = |x^424|
Isso nos dá uma ideia de quão grande pode ser o erro ao usar a aproximação de segunda ordem para cos x.

Passo 4

Agora, precisamos considerar que |x| < 0,5. Isso significa que o valor de x está próximo de zero, e quanto menor o valor de x, menor será o erro. Vamos calcular o valor máximo do erro dentro desse intervalo.

Passo 5

Substituindo x = 0,5 na expressão do erro, temos:
|R4(0,5)| = |(0,5)^424| = 0,062524 approx 0,0026
Portanto, o erro máximo estimado é aproximadamente 0,0026.

Resposta

A estimativa do erro ao substituir cos x por 1 - (x^22), com |x| < 0,5, é de no máximo aproximadamente 0,0026.

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