Se for substituido por e , qual estimativa podera ser feita do erro? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, temos um exercício em que vamos substituir a função por , com a condição de que . O conteúdo principal aqui é a aproximação de funções usando séries de Taylor e a estimativa do erro dessa aproximação. Para resolver isso, vamos precisar entender como a série de Taylor para funciona e como podemos estimar o erro dessa substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função em torno de . A série de Taylor de é dada por:
No nosso caso, estamos substituindo por apenas os dois primeiros termos dessa série:
Isso significa que estamos truncando a série depois do termo de . Agora, queremos estimar o erro dessa aproximação.
Passo 3
Para estimar o erro da aproximação, usamos o termo de resto da série de Taylor. O Teorema de Taylor nos diz que o erro ao aproximar uma função pela série truncada está relacionado ao próximo termo da série. No caso de , o próximo termo após é . Portanto, o erro pode ser estimado pelo valor absoluto desse próximo termo:
Isso nos dá uma ideia de quão grande pode ser o erro ao usar a aproximação de segunda ordem para cos x.
Passo 4
Agora, precisamos considerar que |x| < 0,5. Isso significa que o valor de x está próximo de zero, e quanto menor o valor de x, menor será o erro. Vamos calcular o valor máximo do erro dentro desse intervalo.
Passo 5
Substituindo x = 0,5 na expressão do erro, temos:
|R4(0,5)| = |(0,5)^424| = 0,062524 approx 0,0026
Portanto, o erro máximo estimado é aproximadamente 0,0026.
Resposta
A estimativa do erro ao substituir cos x por 1 - (x^22), com |x| < 0,5, é de no máximo aproximadamente 0,0026.