Encontre a soma da serie geometrica
sumn=0^infty(2^n+15^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar a soma da série geométrica dada por:
sumn=0^infty(2^n+15^n)
Isso significa que estamos somando termos que seguem uma regra específica de multiplicação. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma soma infinita onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. Observe que sumn=0^infty(2 cdot 2^n5^n) = 2 sumn=0^infty(25)^n pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Aqui, retiramos o 2 da soma porque ele é constante em todos os termos.

Passo 3

Agora, temos uma série geométrica na forma:
sumn=0^inftyr^n
onde . Sabemos que uma série geométrica infinita converge (ou seja, tem uma soma finita) se o valor absoluto da razão for menor que 1. No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
S = a1 - r
onde:
  • S = 11 - 25 = 135 = 53 é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, o primeiro termo quando é . Então:

Passo 5

Lembrando que a nossa série original tinha um fator de 2 multiplicando a soma, precisamos multiplicar o resultado final:
2 times S = 2 times 53 = 103

Resposta

A soma da série geométrica é .

Exercícios relacionados