Encontre serie de Taylor para
f(x)=x1-x
em ponto x=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a série de Taylor para a função em torno do ponto . A série de Taylor é uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais, que pode ser muito útil para aproximar funções complicadas usando polinômios mais simples.

Passo 2

Sabemos que a série de Taylor de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n em torno de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n é dada por:
No nosso caso, , então a série simplifica para:
Vamos calcular os termos dessa série.

Passo 3

Observamos que a função f(x) = x cdot 11 - x pode ser reescrita como:
11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1
Sabemos que a série geométrica para é:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x cdot 11 - x = x cdot sumn=0^infty x^n = sumn=0^infty x^n+1 , temos:
sumn=0^infty x^n+1 = sumn=1^infty x^n
Podemos reindexar a soma para facilitar:

Passo 5

Portanto, a série de Taylor para f(x) = sumn=1^infty x^n em torno de x1 - x = x + x^2 + x^3 + x^4 + cdots para |x| < 1 é:
Isso significa que:

Resposta

A série de Taylor para x1 - x = sumn=1^infty x^n = x + x^2 + x^3 + x^4 + cdots para |x| < 1 em é:

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