Se \cos x=-\frac{1}{4} e que x é um ângulo no terceiro quadrante, encontre o valor de \sin x.

Passo 1

O enunciado diz que \cos x = -\tfrac{1}{4} e que x está no terceiro quadrante. Queremos encontrar \sin x. Para isso vamos usar a identidade trigonométrica fundamental e o sinal de \sin x no terceiro quadrante.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1
isolando \sin^{2}x:
\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x.

Passo 3

Substituímos \cos x = -\tfrac{1}{4} em \sin^{2}x:
\sin^{2}x = 1 - \Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2} = 1 - \tfrac{1}{16} = \tfrac{15}{16}.

Passo 4

Da expressão \sin^{2}x = \tfrac{15}{16} obtemos
\sin x = \pm \sqrt{\tfrac{15}{16}} = \pm \tfrac{\sqrt{15}}{4}.
Como x está no terceiro quadrante, \sin x é negativo.

Resposta

\sin x = -\frac{\sqrt{15}}{4}.

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