Sejam \alpha, \beta e \gamma os ângulos internos de um triângulo.
a) Mostre que as tangentes de cada um desses três ângulos não podem ser, todas elas ao mesmo tempo, maiores ou iguais a 2 .
b) Supondo que as tangentes de cada uma dos três ângulos são números inteiros positivos, calcule essas tangentes.

Passo 1

O enunciado diz que \alpha,\beta,\gamma são os ângulos internos de um triângulo, portanto
\alpha+\beta+\gamma=\pi.
Precisamos usar a identidade trigonométrica que relaciona as tangentes desses três ângulos:
\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\;\tan\beta\;\tan\gamma.
Com ela faremos (a) um argumento de desigualdades e (b) resolveremos em inteiros positivos a equação
x+y+z=xyz.

Passo 2

Derivação da identidade \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\,\tan\beta\,\tan\gamma:
Como \alpha+\beta+\gamma=\pi, temos
\tan(\alpha+\beta+\gamma)=\tan\pi=0.
Por outro lado, aplicando a fórmula de tangente de soma em três termos,
\tan(\alpha+\beta+\gamma) =\frac{\tan(\alpha+\beta)+\tan\gamma}{1-\tan(\alpha+\beta)\tan\gamma} =0
implica
\tan(\alpha+\beta)+\tan\gamma=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\,\tan\beta}+\tan\gamma=0.
Multiplicando por 1-\tan\alpha\,\tan\beta e rearranjando chega-se a
\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma =\tan\alpha\,\tan\beta\,\tan\gamma.

Passo 3

(a) Suponha, por absurdo, que
\tan\alpha\ge2,\quad \tan\beta\ge2,\quad \tan\gamma\ge2.
Então
\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma\ge2+2+2=6 \quad\text{e}\quad \tan\alpha\,\tan\beta\,\tan\gamma\ge2\cdot2\cdot2=8.
Mas a identidade exige soma igual ao produto, isto é,
\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma =\tan\alpha\,\tan\beta\,\tan\gamma.
Logo a soma seria ao mesmo tempo maior ou igual a 6 e ao mesmo tempo maior ou igual a 8, o que não ocorre: não pode ter 6\ge8. Contradição.

Passo 4

(b) Sejam x=\tan\alpha, y=\tan\beta, z=\tan\gamma inteiros positivos satisfeitos
x+y+z=xyz.
Se x,y,z\ge2 então x+y+z\ge6 e xyz\ge8, o que daria xyz>x+y+z, impossível. Portanto um deles vale 1. Sem perda de generalidade, tome x=1. A equação vira
1+y+z=1\cdot y\cdot z \quad\Longleftrightarrow\quad yz - y - z = 1.
Reescrevendo,
(y-1)(z-1)=2.
Como y,z são inteiros positivos, as únicas fatorações de 2 são 1\cdot2 ou 2\cdot1. Isso dá (y-1,z-1)=(1,2) ou (2,1), i.e. (y,z)=(2,3) ou (3,2).

Resposta

As únicas tangentes inteiras positivas são \{1,2,3\}, em qualquer ordem.

Exercícios relacionados