Sejam
e
os ângulos internos de um triângulo.
a) Mostre que as tangentes de cada um desses três ângulos não podem ser, todas elas ao mesmo tempo, maiores ou iguais a 2 .
b) Supondo que as tangentes de cada uma dos três ângulos são números inteiros positivos, calcule essas tangentes.
a) Mostre que as tangentes de cada um desses três ângulos não podem ser, todas elas ao mesmo tempo, maiores ou iguais a 2 .
b) Supondo que as tangentes de cada uma dos três ângulos são números inteiros positivos, calcule essas tangentes.
Passo 1
O enunciado diz que
são os ângulos internos de um triângulo, portanto
Precisamos usar a identidade trigonométrica que relaciona as tangentes desses três ângulos:
Com ela faremos (a) um argumento de desigualdades e (b) resolveremos em inteiros positivos a equação
Passo 2
Derivação da identidade
:
Como , temos
Como
Por outro lado, aplicando a fórmula de tangente de soma em três termos,
implica
Multiplicando por
e rearranjando chega-se a
Passo 3
(a) Suponha, por absurdo, que
Então
Mas a identidade exige soma igual ao produto, isto é,
Logo a soma seria ao mesmo tempo maior ou igual a
e ao mesmo tempo maior ou igual a
, o que não ocorre: não pode ter
. Contradição.
Passo 4
(b) Sejam
,
,
inteiros positivos satisfeitos
Se
então
e
, o que daria
, impossível. Portanto um deles vale
. Sem perda de generalidade, tome
. A equação vira
Reescrevendo,
Como
são inteiros positivos, as únicas fatorações de
são
ou
. Isso dá
ou
, i.e.
ou
.
Resposta
As únicas tangentes inteiras positivas são
, em qualquer ordem.