cos ^4 x+sen^4 x+2 cdot(sen x cdot cos x)^2=1

Passo 1

Neste exercício, queremos verificar a identidade trigonométrica:
cos^4 x + sin^4 x + 2 cdot (sin x cdot cos x)^2 = 1
Vamos usar propriedades das funções trigonométricas e identidades conhecidas para provar que a expressão do lado esquerdo realmente iguala a 1.

Passo 2

Primeiro, lembremos de uma identidade trigonométrica fundamental:
cos^2 x + sin^2 x = 1
Essa identidade será útil para simplificar os termos da expressão que queremos verificar.

Passo 3

Vamos observar os termos da expressão original:
cos^4 x = (cos^2 x)^2
sin^4 x = (sin^2 x)^2
2 cdot (sin x cdot cos x)^2 = 2 cdot sin^2 x cdot cos^2 x
Dessa forma, a expressão original fica:
(cos^2 x)^2 + (sin^2 x)^2 + 2 cdot sin^2 x cdot cos^2 x

Passo 4

Agora, vamos somar os termos:
(cos^2 x)^2 + (sin^2 x)^2 + 2 cdot sin^2 x cdot cos^2 x
Podemos perceber que isso se assemelha à expansão do quadrado de uma soma:
(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
Onde e .

Passo 5

Aplicando essa identidade, temos:
(cos^2 x + sin^2 x)^2 = cos^4 x + sin^4 x + 2 cdot sin^2 x cdot cos^2 x
Mas já sabemos que .

Passo 6

Substituindo na expressão acima:
(1)^2 = 1 = cos^4 x + sin^4 x + 2 cdot sin^2 x cdot cos^2 x
Portanto, a expressão original iguala a 1.

Resposta

A identidade é verdadeira.

Exercícios relacionados