Determinar o sinal das seguintes expressōes:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos três expressões trigonométricas (
,
, e
) e precisamos determinar o sinal (positivo ou negativo) de cada uma delas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os sinais das funções trigonométricas nos diferentes quadrantes do círculo unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o sinal de .
Sabemos que:
-
está no segundo quadrante. - No segundo quadrante:
- O cosseno (
) é negativo. - A cosecante (), que é o inverso do seno, tem o mesmo sinal do seno. Como o seno é positivo no segundo quadrante, também é positivo.
- O cosseno (
Então,
é negativo e é positivo.
Passo 3
Vamos passar para .
Sabemos que:
-
também está no segundo quadrante. - No segundo quadrante:
- O seno () é positivo.
- A secante (
), que é o inverso do cosseno, tem o mesmo sinal do cosseno. Como o cosseno é negativo no segundo quadrante, também é negativo.
Então, é positivo e
é negativo.
Passo 4
Agora, vamos analisar
.
Primeiro, identifiquemos onde estão os ângulos:
-
radianos é equivalente a , que está no terceiro quadrante. -
radianos é equivalente a , também no terceiro quadrante. -
radianos é equivalente a aproximadamente , no primeiro quadrante.
Nos quadrantes:
- No terceiro quadrante:
- A secante (
) é negativa. - A tangente (
) é positiva.
- A secante (
- No primeiro quadrante:
- A cotangente (
) é positiva.
- A cotangente (
Então:
-
é negativo. -
é positivo. -
é positivo.
Passo 5
Vamos agora determinar o sinal de cada expressão:
-
Para
: -
é negativo. - é positivo.
- Portanto,
é a soma de um número negativo com um positivo. Precisamos comparar os valores absolutos: -
-
, que é positivo.
-
-
-
Para
: - é positivo.
-
é negativo. - Vamos comparar os valores:
-
-
, que é negativo.
-
Para
: -
é negativo. -
é positivo. -
é positivo. - A expressão dentro dos parênteses é a soma de dois números positivos, resultando em um número positivo.
- Multiplicando um número negativo (
) por um positivo, o resultado será negativo.
-