Cosntrua os gráficos de f(x)=2 x e g(x)=3-x^2, no mesmo sistema de eixos. Considere a região do primeiro quadrante limitada : abaixo pelo eixo X e acima pelos gráficos das funções dadas e em seguida calcule a área dessa regiâo.

Passo 1

O exercício pede para desenhar os gráficos de f(x)=2x e g(x)=3 - x^2 no primeiro quadrante e depois calcular a área da região limitada abaixo pelo eixo x e acima pelos dois gráficos.

Passo 2

Primeiro, encontramos as interseções que definem a fronteira da região:
  1. f cruza o eixo x em x=0.
  2. g cruza o eixo x em x^2=3, ou seja, x=raiz3 no primeiro quadrante.
  3. As duas curvas se intersectam quando 2x=3 - x^2, isto é, x^2+2x-3=0 cuja solução positiva é x=1.

Passo 3

Para visualizar a região, note que no intervalo 0<= x<=1 a reta y=2x fica abaixo da parábola y=3 - x^2, e de x=1 até x=raiz3 a parábola fica acima do eixo e a reta já está acima da parábola. Logo, a fronteira superior da região é dada por:
  • de x=0 a x=1, por y=2x.
  • de x=1 a x=raiz3, por y=3 - x^2.

Passo 4

A área pedida é a soma das duas integrais:
A=integral0^12x,dx + integral1^raiz3l(3 - x^2r)dx

Passo 5

Agora calculamos cada uma:
Para a reta:
integral0^12x,dx = l[x^2r]0^1 = 1
Para a parábola:
integral1^raiz3(3 - x^2)dx = l[3x - x^33r]1^raiz3 = l(3raiz3 - (raiz3)^33r) - l(3 - tfrac13r) = 2raiz3 - tfrac83

Passo 6

Somando as duas parcelas:
A = 1 + l(2raiz3 - tfrac83r) = 3 + 6raiz3 - 83 = 6raiz3 - 53

Resposta

dfrac6raiz3 - 53

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