Esboce o gráfico das seguintes cônicas, indicando seus vértices, focos, centros (quando for o caso) e assíntotas (quando for o caso).
g)
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Passo 1
Resumo do enunciado: temos a cônica dada por x² − 4y² + 2x + 8y − 7 = 0. O conteúdo é estudo de hipérboles (pois um termo quadrático é positivo e o outro negativo) e vamos precisar completar quadrados para obter a forma padrão.
Passo 2
Para colocar em forma padrão, agrupamos termos de x e y separadamente: x² + 2x − 4(y² − 2y) − 7 = 0. Agora completamos quadrados em cada grupo:
– Em x: x² + 2x = (x + 1)² − 1.
– Em y: y² − 2y = (y − 1)² − 1, então −4(y² − 2y) = −4(y − 1)² +4.
– Em x: x² + 2x = (x + 1)² − 1.
– Em y: y² − 2y = (y − 1)² − 1, então −4(y² − 2y) = −4(y − 1)² +4.
Passo 3
Substituindo: (x + 1)² − 1 − 4(y − 1)² +4 − 7 = 0 ⇒ (x + 1)² − 4(y − 1)² − 4 = 0 ⇒ (x + 1)² − 4(y − 1)² = 4.
Dividindo por 4, obtemos a forma padrão da hipérbole com eixo transverso horizontal:
Aqui a²=4 ⇒ a=2 e b²=1 ⇒ b=1, e o centro é C=(−1,1).
Passo 4
Os vértices ficam deslocados a unidades ±a no eixo x a partir do centro: V₁=(−1+2, 1)=(1,1) e V₂=(−1−2, 1)=(−3,1).
Para os focos calculamos c²=a²+b²=4+1=5 ⇒ c=√5. Assim, F₁=(−1+√5, 1) e F₂=(−1−√5, 1).
Para os focos calculamos c²=a²+b²=4+1=5 ⇒ c=√5. Assim, F₁=(−1+√5, 1) e F₂=(−1−√5, 1).
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole na forma (x+1)²/a² − (y−1)²/b² =1 são dados por y−1 = ±(b/a)(x+1). Aqui b/a =1/2, logo
Passo 6
Para esboçar, marcamos o centro, os vértices e os focos e desenhamos as duas retas assíntotas: uma de inclinação +1/2 e outra de inclinação −1/2, a partir de (−1,1). A curva abre-se para a direita e para a esquerda ao longo do eixo horizontal.
Segue o esboço qualitativo: a hipérbole centrada em (−1,1), vértices em (1,1) e (−3,1), focos em (−1±√5,1) e assimptotas y = ½x +3/2 e y = −½x +1/2.
Segue o esboço qualitativo: a hipérbole centrada em (−1,1), vértices em (1,1) e (−3,1), focos em (−1±√5,1) e assimptotas y = ½x +3/2 e y = −½x +1/2.
Resposta
Forma padrão:
.
Centro: (-1,1).
Vértices: (1,1) e (-3,1).
Focos: (-1+√5,1) e (-1-√5,1).
Assíntotas: y=½x+3/2 e y=-½x+½.
Hipérbole abrindo para esquerda e direita.
Centro: (-1,1).
Vértices: (1,1) e (-3,1).
Focos: (-1+√5,1) e (-1-√5,1).
Assíntotas: y=½x+3/2 e y=-½x+½.
Hipérbole abrindo para esquerda e direita.