lim x 0 tg(sen(x)) csc (tg(x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0tan(sin x),csc(tan x)
Este é um problema de limite envolvendo funções trigonométricas compostas. Para resolvê-lo, vamos usar definições de csc e tan e as aproximações para pequenos ângulos (séries de Taylor de ordem mínima).

Passo 2

Para simplificar, observe que
csc(tan x)=1sin(tan x)
Logo,
tan(sin x),csc(tan x)=tan(sin x)sin(tan x)
Com isso, transformamos o produto original numa única fração.

Passo 3

Agora usamos as aproximações para xto0:
  1. sin x=x+o(x), pois a série de Taylor de sin x é x-tfracx^36+dots.
  2. tan x=x+o(x), pois a série de Taylor de tan x é x+tfracx^33+dots.
Então:
  • tan(sin x)=tanl(x+o(x)r)=x+o(x)
  • sin(tan x)=sinl(x+o(x)r)=x+o(x)

Passo 4

Como both numerator and denominator tendem a x quando xto0, temos
tan(sin x)sin(tan x)=x+o(x)x+o(x)longrightarrow1
Portanto, o limite procurado é 1.

Resposta

1

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