a)
em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem.
b)
em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem.
c)
em
.
b)
c)
Passo 1
Vamos analisar três campos vetoriais e verificar se são conservativos (isto é, se têm potencial) em domínios simplesmente conexos indicados no enunciado e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial φ tal que
.
Passo 2
Para que um campo vetorial
seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, basta mostrar que seu rotacional é nulo:
.
Passo 3
Caso (a):
, onde
. Calculando as derivadas mistas, confirma-se que
em qualquer domínio que não contém a origem. Logo o campo é conservativo.
Ainda em (a), para achar φ, integramos a componente em relação a
:
Ainda em (a), para achar φ, integramos a componente
Derivando esse
em relação a
e
e igualando a
e
mostramos que
é constante. Assim
Passo 4
Caso (b):
, com
. Novamente, o cálculo de
dá zero em qualquer domínio sem a origem, logo é conservativo.
Para achar o potencial em (b), integramos em
:
Para achar o potencial em (b), integramos
Checando com
e
, obtemos que
é constante. Portanto
Passo 5
Caso ©:
em
. Fazendo o rotacional, vê-se que ele é identicamente nulo em todo o espaço, logo o campo é conservativo.
Para encontrar o potencial em ©, integramos em
:
Para encontrar o potencial em ©, integramos
Depois, a comparação com
e
mostra que
não depende de
nem de
, ficando constante. Assim
Resposta
Em todo domínio simplesmente conexo sem a origem,
e
. Em
,
.