a) f(x, y, z)=(x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2, y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2, z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2) em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem.
b) f(x, y, z)=(2 xx^2+y^2+z^2, 2 yx^2+y^2+z^2, 2 zx^2+y^2+z^2) em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem.
c) f(x, y, z)=(y e^z, x e^z, x y e^z) em R^3.

Passo 1

Vamos analisar três campos vetoriais e verificar se são conservativos (isto é, se têm potencial) em domínios simplesmente conexos indicados no enunciado e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial φ tal que vec f=nabla φ.

Passo 2

Para que um campo vetorial vec f=(P,Q,R) seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, basta mostrar que seu rotacional é nulo: nablatimesvec f=(Ry-Qz,,Pz-Rx,,Qx-Py)=vec0.

Passo 3

Caso (a): vec f(x,y,z)=l(x/r^3,,y/r^3,,z/r^3r), onde r=raizx^2+y^2+z^2. Calculando as derivadas mistas, confirma-se que nablatimesvec f=vec0 em qualquer domínio que não contém a origem. Logo o campo é conservativo.
Ainda em (a), para achar φ, integramos a componente P= x/r^3 em relação a x:
φ(x,y,z)=integral x(x^2+y^2+z^2)^3/2,dx=-1raizx^2+y^2+z^2+C(y,z)
Derivando esse φ em relação a y e z e igualando a Q e R mostramos que C é constante. Assim
φa(x,y,z)=-1raizx^2+y^2+z^2+const

Passo 4

Caso (b): vec f(x,y,z)=l(2x/r^2,,2y/r^2,,2z/r^2r), com r^2=x^2+y^2+z^2. Novamente, o cálculo de nablatimesvec f dá zero em qualquer domínio sem a origem, logo é conservativo.
Para achar o potencial em (b), integramos P=2x/r^2 em x:
φ(x,y,z)=integral 2xx^2+y^2+z^2,dx=lnl(x^2+y^2+z^2r)+C(y,z)
Checando com Q e R, obtemos que C é constante. Portanto
φb(x,y,z)=lnl(x^2+y^2+z^2r)+const

Passo 5

Caso ©: vec f(x,y,z)=(y e^z,,x e^z,,x y e^z) em R^3. Fazendo o rotacional, vê-se que ele é identicamente nulo em todo o espaço, logo o campo é conservativo.
Para encontrar o potencial em ©, integramos P=y e^z em x:
φ(x,y,z)=integral y e^z,dx=x y e^z+C(y,z)
Depois, a comparação com Q e R mostra que C(y,z) não depende de y nem de z, ficando constante. Assim
φc(x,y,z)=x y e^z+const

Resposta

Em todo domínio simplesmente conexo sem a origem, φa=-1/raizx^2+y^2+z^2+C e φb=ln(x^2+y^2+z^2)+C. Em R^3, φc=x y e^z+C.

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