Cousidere a função produção CES abaixos
f(K, L)=[alpha K^-varphi+(I-sigma) L^-varphi]^-1 / rho
ent que K è o capital imobilizado e L é o volume da mào de obra, theta e rho <= 1.
2. Verifique o grau de homogenejdade dessa função. Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o grau de homogeneidade da função produção CES
f(K,L)=l[alpha K^-varphi+(1-alpha)L^-varphir]^-1/rho
onde K é capital, L é trabalho, alphain(0,1), varphi>0 e rho<=1. Vamos usar a definição de homogeneidade: testar f(tK,tL) para t>0.

Passo 2

Para calcular f(tK,tL), substituímos K e L por tK e tL:
f(tK,tL)=l[alpha (tK)^-varphi+(1-alpha)(tL)^-varphir]^-1/rho
Em seguida usamos que (tK)^-varphi=t^-varphiK^-varphi e idem para L.

Passo 3

Ao fatorar t^-varphi dentro do colchete, temos:
f(tK,tL)=l[t^-varphil(alpha K^-varphi+(1-alpha)L^-varphir)r]^-1/rho =l(t^-varphir)^-1/rho,l[alpha K^-varphi+(1-alpha)L^-varphir]^-1/rho
Como (t^-varphi)^-1/rho=t^varphi/rho, obtemos
f(tK,tL)=t^varphi/rho,f(K,L)

Passo 4

O resultado mostra que f é homogênea de grau varphi/rho. Se varphi/rho=1 temos retornos constantes de escala; se varphi/rho>1 retornos crescentes; e se varphi/rho<1 retornos decrescentes.

Resposta

A função é homogênea de grau varphi/rho. Isso significa que os retornos de escala são crescentes quando varphi/rho>1, constantes quando varphi/rho=1 e decrescentes quando varphi/rho<1.

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