Dadas as funçies abaixo encontre: 1: Encontre as derivadas parcials de primeira e segunda ordem; 2: Verifique se as derivadas parciais de segunda ordem cruzadas de f sāo iguais; 3: A partir das derivadas de primeira e segunda orden, monte o vetor gradiente e a funģio Hessinan.
2. f(x, y)=50 x^2 / 2 y^1 / 3

Passo 1

A função dada é f(x,y)=50 x^{2/2} y^{1/3}. O conteúdo aqui é derivadas parciais, gradiente e Hessiana, e vamos usar principalmente a regra do poder para funções do tipo z^n.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão x^{2/2}=x, então f(x,y)=50 x y^{1/3}. Isso facilita a hora de derivar.

Passo 3

Para as derivadas de primeira ordem, tratamos a outra variável como constante e aplicamos a regra do poder. Assim temos
fx=partialpartial x(50 x y^1/3)=50 y^1/3,
fy=partialpartial y(50 x y^1/3)=50 xcdot13y^-2/3=503x y^-2/3

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas. Primeiro f_{xx} e f_{xy}:
fxx=partialpartial x(50 y^1/3)=0,
fxy=partialpartial y(50 y^1/3)=50cdot13y^-2/3=503y^-2/3
Depois f_{yx} e f_{yy}:
fyx=partialpartial xl(503x y^-2/3r)=503y^-2/3,
fyy=partialpartial yl(503x y^-2/3r)=503xcdot(-tfrac23)y^-5/3=-1009x y^-5/3

Passo 5

As derivadas cruzadas f_{xy} e f_{yx} deram ambas tfrac503y^-2/3, então são iguais, conforme o teorema de Schwarz.

Passo 6

Por fim, montamos o vetor gradiente e a matriz Hessiana:
nabla f=fxfy=50 y^1/3503x y^-2/3,
Hf=fxx&fxyfyx&fyy=0&503y^-2/3503y^-2/3&-1009x y^-5/3

Resposta

Derivadas de primeira ordem: f_x=50 y^{1/3}, f_y=\tfrac{50}{3}x y^{-2/3}.
Derivadas de segunda ordem: f_{xx}=0, f_{xy}=f_{yx}=\tfrac{50}{3}y^{-2/3}, f_{yy}=-\tfrac{100}{9}x y^{-5/3}.
As derivadas cruzadas coincidem.
Gradiente:
nabla f=50 y^1/3503x y^-2/3
Hessiana:
Hf=0&503y^-2/3503y^-2/3&-1009x y^-5/3

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