Dadas as funçies abaixo encontre: 1: Encontre as derivadas parcials de primeira e segunda ordem; 2: Verifique se as derivadas parciais de segunda ordem cruzadas de
sāo iguais; 3: A partir das derivadas de primeira e segunda orden, monte o vetor gradiente e a funģio Hessinan.
2.
2.
Passo 1
A função dada é f(x,y)=50 x^{2/2} y^{1/3}. O conteúdo aqui é derivadas parciais, gradiente e Hessiana, e vamos usar principalmente a regra do poder para funções do tipo z^n.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão x^{2/2}=x, então f(x,y)=50 x y^{1/3}. Isso facilita a hora de derivar.
Passo 3
Para as derivadas de primeira ordem, tratamos a outra variável como constante e aplicamos a regra do poder. Assim temos
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas. Primeiro f_{xx} e f_{xy}:
Depois f_{yx} e f_{yy}:
Passo 5
As derivadas cruzadas f_{xy} e f_{yx} deram ambas
, então são iguais, conforme o teorema de Schwarz.
Passo 6
Por fim, montamos o vetor gradiente e a matriz Hessiana:
Resposta
Derivadas de primeira ordem: f_x=50 y^{1/3}, f_y=\tfrac{50}{3}x y^{-2/3}.
Derivadas de segunda ordem: f_{xx}=0, f_{xy}=f_{yx}=\tfrac{50}{3}y^{-2/3}, f_{yy}=-\tfrac{100}{9}x y^{-5/3}.
As derivadas cruzadas coincidem.
Gradiente:
Derivadas de segunda ordem: f_{xx}=0, f_{xy}=f_{yx}=\tfrac{50}{3}y^{-2/3}, f_{yy}=-\tfrac{100}{9}x y^{-5/3}.
As derivadas cruzadas coincidem.
Gradiente:
Hessiana: