Derivar as funģòes abaixo utilizando diferenciação implícita.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos três funções de duas variáveis definidas explicitamente como z = f(x,y) e queremos calcular suas derivadas parciais em relação a x e a y. O conteúdo principal envolve regras de derivação: regra da cadeia para exponenciais, regra do produto para monômios e log-diferenciação para bases com expoentes dependentes de y.
Passo 2
Para f₁(x,y)=e^{x²−y}−5, aplicamos a regra da cadeia na exponencial. Primeiro derivada em relação a x: a derivada de e^{u} é e^{u}·u′, com u=x²−y, logo u′_x=2x. Assim
Em relação a y, u′_y=−1, então
Passo 3
Para f₂(x,y)=x²y²+3xy²+y, usamos regra do produto e soma de termos. Derivando em relação a x: o termo x²y² dá 2x·y², o termo 3xy² dá 3·y² e o y é constante, logo
Agora em relação a y: x²y² dá 2y·x², 3xy² dá 6xy, e y dá 1, resultando
Passo 4
Para f₃(x,y)=x{3/4}·y{t/y}, usamos log-diferenciação no fator y^{t/y}. Primeiro note que x^{3/4} é monômio simples e y^{t/y} tem expoente dependente de y. Reescrevemos g(y)=y^{t/y} e aplicamos ln g = (t/y)·ln y. Tirando derivada
Logo g’ = y^{t/y}·t·(1−ln y)/y². Agora
pois y^{t/y} é tratado como constante em relação a x, e
Resposta
As derivadas parciais são:
Para f₁(x,y)=e^{x²−y}−5:
∂f₁/∂x=2x e^{x²−y}, ∂f₁/∂y=−e^{x²−y}.
∂f₁/∂x=2x e^{x²−y}, ∂f₁/∂y=−e^{x²−y}.
Para f₂(x,y)=x²y²+3xy²+y:
∂f₂/∂x=2xy²+3y², ∂f₂/∂y=2x²y+6xy+1.
∂f₂/∂x=2xy²+3y², ∂f₂/∂y=2x²y+6xy+1.
Para f₃(x,y)=x^{3/4} y^{t/y}:
∂f₃/∂x=\frac{3}{4}x^{−1/4} y^{t/y}, ∂f₃/∂y=x^{3/4} y^{t/y} \frac{t(1−\ln y)}{y²}.
∂f₃/∂x=\frac{3}{4}x^{−1/4} y^{t/y}, ∂f₃/∂y=x^{3/4} y^{t/y} \frac{t(1−\ln y)}{y²}.