Derivar as funģòes abaixo utilizando diferenciação implícita.
l 1 z=f(x, y)=e^x^2-y-5 2 z=f(x, y)=x^2 y^2+3 x y^2+y 3 z=f(x, y)=x^3 / 4 y^t / y

Passo 1

Resumo do enunciado: temos três funções de duas variáveis definidas explicitamente como z = f(x,y) e queremos calcular suas derivadas parciais em relação a x e a y. O conteúdo principal envolve regras de derivação: regra da cadeia para exponenciais, regra do produto para monômios e log-diferenciação para bases com expoentes dependentes de y.

Passo 2

Para f₁(x,y)=e^{x²−y}−5, aplicamos a regra da cadeia na exponencial. Primeiro derivada em relação a x: a derivada de e^{u} é e^{u}·u′, com u=x²−y, logo u′_x=2x. Assim
∂f₁/∂x = e^x²−y·2x = 2x e^x²−y ²²
Em relação a y, u′_y=−1, então
∂f₁/∂y = e^x²−y·(−1) = -e^x²−y ²²

Passo 3

Para f₂(x,y)=x²y²+3xy²+y, usamos regra do produto e soma de termos. Derivando em relação a x: o termo x²y² dá 2x·y², o termo 3xy² dá 3·y² e o y é constante, logo
∂f₂/∂x = 2xy² + 3y² ²²
Agora em relação a y: x²y² dá 2y·x², 3xy² dá 6xy, e y dá 1, resultando
∂f₂/∂y = 2x²y + 6xy + 1 ²

Passo 4

Para f₃(x,y)=x{3/4}·y{t/y}, usamos log-diferenciação no fator y^{t/y}. Primeiro note que x^{3/4} é monômio simples e y^{t/y} tem expoente dependente de y. Reescrevemos g(y)=y^{t/y} e aplicamos ln g = (t/y)·ln y. Tirando derivada
g'g = ddyl(tyln yr) = t,1 - ln yy² ²
Logo g’ = y^{t/y}·t·(1−ln y)/y². Agora
∂f₃/∂x = 34 x^-1/4·y^t/y,
pois y^{t/y} é tratado como constante em relação a x, e
∂f₃/∂y = x^3/4·g' = x^3/4·y^t/y·t(1 - ln y)y² ²

Resposta

As derivadas parciais são:
Para f₁(x,y)=e^{x²−y}−5:
∂f₁/∂x=2x e^{x²−y}, ∂f₁/∂y=−e^{x²−y}.
Para f₂(x,y)=x²y²+3xy²+y:
∂f₂/∂x=2xy²+3y², ∂f₂/∂y=2x²y+6xy+1.
Para f₃(x,y)=x^{3/4} y^{t/y}:
∂f₃/∂x=\frac{3}{4}x^{−1/4} y^{t/y}, ∂f₃/∂y=x^{3/4} y^{t/y} \frac{t(1−\ln y)}{y²}.

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