Cousidere A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=3 t-t^3, y=3 t^2, t in R
Para que valores do parâmetro t a curva A sobe? Para que valores desce?

Passo 1

O enunciado pede onde a curva paramétrica A, dada por x=3t-t^3 e y=3t^2, está subindo (tende a aumentar y conforme x aumenta) ou descendo (o oposto). O conteúdo envolve curvas paramétricas e o cálculo do sinal de dy/dx.

Passo 2

Para saber onde a curva sobe ou desce, primeiro calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt=3-3t^2,
dydt=6t

Passo 3

Em seguida usamos a regra de derivação de curvas paramétricas para obter
dydx=dy/dtdx/dt=6t3-3t^2=2t1-t^2

Passo 4

Agora analisamos o sinal de dydx=2t1-t^2. O numerador 2t é positivo se t>0 e negativo se t<0. O denominador 1-t^2 é positivo para |t|<1 e negativo para |t|>1. Concluímos que dy/dx>0 (subida) quando:
  • t>0 e |t|<1 0,
  • t<0 e |t|>1 t<-1.
    E dy/dx<0 (descida) para os demais intervalos:
  • -1,
  • t>1.

Resposta

A curva sobe para tin(-infty,-1)cup(0,1) e desce para tin(-1,0)cup(1,infty).

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