Relacione cada expressão com uma de suas interpretações.
Du f(x)=lim h 0 f(x+h u)-f(x)h

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para relacionar uma expressão com a sua interpretação. A expressão que temos é a definição da derivada direcional:
Du f(x)=lim h 0 f(x+h u)-f(x)h
Isso está ligado ao cálculo diferencial, especialmente no estudo de como uma função muda em uma certa direção no espaço. Para resolver, vamos entender passo a passo o que cada parte dessa expressão representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Diferente da derivada comum que analisa a variação em uma direção específica (geralmente ao longo do eixo x), a derivada direcional olha para a variação da função em qualquer direção definida por um vetor u.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão:
lim h 0 f(x+h u)-f(x)h
Aqui, h representa um pequeno passo que tomamos na direção do vetor u a partir do ponto x. A expressão dentro do limite calcula a taxa de variação da função f nesse pequeno deslocamento.

Passo 4

Tomando o limite quando h tende a zero, estamos basicamente calculando a inclinação da função f exatamente na direção do vetor u no ponto x. Isso nos dá a derivada direcional, que nos informa quão rápido a função está mudando naquela direção específica.

Passo 5

Para relacionar isso com uma interpretação, pense na derivada direcional como a inclinação da rampa em que você está caminhando. Dependendo da direção que você escolhe, a inclinação pode ser diferente. A derivada direcional te diz qual é essa inclinação na direção que você escolheu.

Resposta

A expressão dada representa a derivada direcional de f no ponto x na direção do vetor u, ou seja, a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de x na direção de u.

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