Cousidere
, curva plana parametrizada por
Para que valores do parâmetro
a curva
tem concavidade para cima? Para que valores tem concavidade para baixo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva plana
no plano, que está parametrizada por:
A matéria que vamos usar aqui é sobre concavidade de curvas. Para descobrir onde a curva está “curvando para cima” ou “curvando para baixo”, precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos precisar de derivadas de
e
em relação a
para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas nos ajudam a calcular
, que é a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando as derivadas que encontramos:
Isso simplifica a expressão para a inclinação da curva em termos de
.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e dividir pela
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
para determinar a concavidade:
- O numerador
é sempre positivo, já que para todo . - O denominador
depende do sinal de : - Se
(ou seja, ), então o denominador é positivo. - Se
(ou seja, ), então o denominador é negativo.
- Se
Portanto:
-
quando (concavidade para cima). -
quando (concavidade para baixo).
Resposta
A curva
tem concavidade para cima quando
e concavidade para baixo quando
ou
.