Cousidere A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=3 t-t^3, y=3 t^2, t in R
Para que valores do parâmetro t a curva A tem concavidade para cima? Para que valores tem concavidade para baixo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva plana A no plano, que está parametrizada por:
x = 3t - t^3, y = 3t^2, t in R
A matéria que vamos usar aqui é sobre concavidade de curvas. Para descobrir onde a curva está “curvando para cima” ou “curvando para baixo”, precisamos calcular a segunda derivada de y em relação a x, ou seja, d^2ydx^2. Vamos precisar de derivadas de x e y em relação a t para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddt(3t - t^3) = 3 - 3t^2
dydt = ddt(3t^2) = 6t
Essas derivadas nos ajudam a calcular dydx, que é a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular dydx usando as derivadas que encontramos:
dydx = dydtdxdt = 6t3 - 3t^2 = 6t3(1 - t^2) = 2t1 - t^2
Isso simplifica a expressão para a inclinação da curva em termos de t.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a segunda derivada d^2ydx^2. Para isso, vamos derivar dydx em relação a t e dividir pela dxdt:
ddt(dydx) = ddt(2t1 - t^2) = 2(1 - t^2) - 2t(-2t)(1 - t^2)^2 = 2 - 2t^2 + 4t^2(1 - t^2)^2 = 2 + 2t^2(1 - t^2)^2
Então,
d^2ydx^2 = ddt(dydx)dxdt = 2 + 2t^2(1 - t^2)^23 - 3t^2 = 2(1 + t^2)(1 - t^2)^2 cdot 3(1 - t^2) = 2(1 + t^2)3(1 - t^2)^3

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de d^2ydx^2 para determinar a concavidade:
d^2ydx^2 = 2(1 + t^2)3(1 - t^2)^3
  • O numerador 2(1 + t^2) é sempre positivo, já que 1 + t^2 > 0 para todo t.
  • O denominador 3(1 - t^2)^3 depende do sinal de 1 - t^2:
    • Se 1 - t^2 > 0 (ou seja, |t| < 1), então o denominador é positivo.
    • Se 1 - t^2 < 0 (ou seja, |t| > 1), então o denominador é negativo.
Portanto:
  • d^2ydx^2 > 0 quando |t| < 1 (concavidade para cima).
  • d^2ydx^2 < 0 quando |t| > 1 (concavidade para baixo).

Resposta

A curva A tem concavidade para cima quando -1 < t < 1 e concavidade para baixo quando t < -1 ou t > 1.

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