(CPCON, 2019 - SOLÂNEA-PB) Dado um triângulo A B C, os pontos médios dos lados A B, B C e A C são vértices de um triângulo, conhecido como triângulo medial de A B C. Se os lados do triângulo A B C medem 4 c m, 5 c m e 7 c m, a área do triângulo medial é:
(a) 5 \mathrm{~cm}^{2}
(b) \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{2}
(c) 2 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{2}
(d) 4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo A B C cujos lados medem 4\\ \mathrm{cm}, 5\\ \mathrm{cm} e 7\\ \mathrm{cm}. Os pontos médios dos lados formam o triângulo medial. A pergunta é: qual é a área do triângulo medial?
Informações relevantes que temos:
  • Lados do triângulo A B C: a=4\\ \mathrm{cm}, b=5\\ \mathrm{cm}, c=7\\ \mathrm{cm}.
  • O triângulo medial é formado pelos pontos médios dos lados de A B C.

Passo 2

Entender a relação entre o triângulo medial e o triângulo original. Propriedade usada (teorema do segmento médio):
  • O segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento.
    Isso implica que cada lado do triângulo medial é paralelo e vale metade do lado correspondente do triângulo A B C. Portanto os triângulos são semelhantes com razão linear
\text{razão linear}=\frac{1}{2}.ã
Quando dois polígonos são semelhantes com razão linear k, as suas áreas guardam a razão k^{2}. Aqui k=\tfrac{1}{2}, então a razão entre a área do triângulo medial e a área de A B C é
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Logo
\text{Área(triângulo medial)}=\tfrac{1}{4}\cdot\text{Área}(A B C).ÁâÁ
Portanto basta calcular a área de A B C e depois dividir por 4.

Passo 3

Calcular a área do triângulo A B C usando a fórmula de Heron. Apresentando a fórmula e explicando as variáveis:
  • Seja a,b,c os comprimentos dos lados do triângulo.
  • Seja s o semiperímetro, isto é
s=\frac{a+b+c}{2}.
  • A área S do triângulo é dada por
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
Agora aplicando com a=4, b=5, c=7:
s=\frac{4+5+7}{2}=\frac{16}{2}=8.
Calcular os termos:
s-a=8-4=4,\qquad s-b=8-5=3,\qquad s-c=8-7=1.
Portanto a área de A B C é
S_{ABC}=\sqrt{8\cdot4\cdot3\cdot1}=\sqrt{96}.
Fatorando 96:
96=16\cdot6\quad\Rightarrow\quad \sqrt{96}=\sqrt{16\cdot6}=4\sqrt{6}.
Logo
\text{Área}(A B C)=4\sqrt{6}\\ \mathrm{cm}^{2}.Á

Passo 4

Aplicar a relação entre áreas (Passo 2): a área do triângulo medial é um quarto da área de A B C. Assim
\text{Área(triângulo medial)}=\tfrac{1}{4}\cdot 4\sqrt{6}=\sqrt{6}\\ \mathrm{cm}^{2}.Áâ

Passo 5

Resumo prático para a prova: já que o triângulo medial tem razão linear 1/2 em relação ao original, sempre dividir a área original por 4. Aqui, usando Heron para achar a área original deu 4\sqrt{6}, então a resposta final é \sqrt{6}\\ \mathrm{cm}^{2}. Você mandou bem por chegar até aqui — respira e confia no passo a passo!

Resposta

\sqrt{6}\\ \mathrm{cm}^{2}

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