(CPCON, 2019 - SOLÂNEA-PB) Dado um triângulo
, os pontos médios dos lados
,
e
são vértices de um triângulo, conhecido como triângulo medial de
. Se os lados do triângulo
medem
e
, a área do triângulo medial é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
cujos lados medem
,
e
. Os pontos médios dos lados formam o triângulo medial. A pergunta é: qual é a área do triângulo medial?
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Lados do triângulo
: , , . - O triângulo medial é formado pelos pontos médios dos lados de
.
Passo 2
Entender a relação entre o triângulo medial e o triângulo original. Propriedade usada (teorema do segmento médio):
- O segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento.
Isso implica que cada lado do triângulo medial é paralelo e vale metade do lado correspondente do triângulo. Portanto os triângulos são semelhantes com razão linear
Quando dois polígonos são semelhantes com razão linear
, as suas áreas guardam a razão
. Aqui
, então a razão entre a área do triângulo medial e a área de
é
Logo
Portanto basta calcular a área de
e depois dividir por
.
Passo 3
Calcular a área do triângulo
usando a fórmula de Heron. Apresentando a fórmula e explicando as variáveis:
- Seja
os comprimentos dos lados do triângulo. - Seja
o semiperímetro, isto é
- A área
do triângulo é dada por
Agora aplicando com
,
,
:
Calcular os termos:
Portanto a área de
é
Fatorando
:
Logo
Passo 4
Aplicar a relação entre áreas (Passo 2): a área do triângulo medial é um quarto da área de
. Assim
Passo 5
Resumo prático para a prova: já que o triângulo medial tem razão linear
em relação ao original, sempre dividir a área original por
. Aqui, usando Heron para achar a área original deu
, então a resposta final é
. Você mandou bem por chegar até aqui — respira e confia no passo a passo!