(CPCON, 2019 - SOLÂNEA-PB) No quadrilátero
, os lados
e
têm a mesma medida da diagonal
e o ângulo
mede
. Qual a medida do ângulo
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- No quadrilátero
vale e . Portanto . - O ângulo
mede . - Pede-se a medida do ângulo
(ou seja, o ângulo no vértice formado pelos pontos , , ).
Passo 2
Como
, os pontos
,
e
estão todos à mesma distância de
. Geometricamente isso significa que
,
e
pertencem à mesma circunferência centrada em
e de raio
. Em outras palavras, há um círculo com centro em
que passa por
,
e
.
Passo 3
Vou explicar um conceito importante que vamos usar: ângulo central e ângulo inscrito na mesma circunferência.
- Ângulo central: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência (aqui, o ponto
). O ângulo é um ângulo central que subtende o arco . - Ângulo inscrito: é o ângulo cujo vértice está sobre a circunferência (aqui,
) e que também subtende o mesmo arco ; esse é o ângulo .
Teorema (ângulo inscrito vs ângulo central): o ângulo inscrito que intercepta um mesmo arco tem medida igual à metade do ângulo central que intercepta esse arco. Em símbolos, se
é a medida do ângulo central que intercepta o arco
, então qualquer ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco tem medida
.
Esboço de justificativa (intuição): ligando o centro
aos pontos
obtemos triângulos isósceles (porque são raios). A igualdade das bases desses triângulos leva, pelas propriedades dos ângulos da soma interna, à relação de que o ângulo inscrito vale metade do ângulo central correspondente. Essa é uma propriedade clássica de circunferências (pode ser provada desenhando os triângulos
e
e usando que os ângulos nas bases desses isósceles são iguais).
Passo 4
Aplicando o teorema: o ângulo central que intercepta o arco
é
, que mede
(dado). Logo qualquer ângulo inscrito que intercepte o mesmo arco
mede metade disso. Assim,
Passo 5
Calcule a metade:
Resposta
(a)