(CPCON, 2019 - SOLÂNEA-PB) No quadrilátero A B C D, os lados A B e A D têm a mesma medida da diagonal A C e o ângulo B \hat{A} C mede 72^{\circ}. Qual a medida do ângulo B \hat{D} C ?
(a) 36^{\circ}
(b) 48^{\circ}
(c) 24^{\circ}
(d) 18^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • No quadrilátero A B C D vale A B = A C e A D = A C. Portanto A B = A C = A D.
  • O ângulo B\hat{A}C mede 72^\circ.
  • Pede-se a medida do ângulo B\hat{D}C (ou seja, o ângulo no vértice D formado pelos pontos B, D, C).

Passo 2

Como A B = A C = A D, os pontos B, C e D estão todos à mesma distância de A. Geometricamente isso significa que B, C e D pertencem à mesma circunferência centrada em A e de raio A C. Em outras palavras, há um círculo com centro em A que passa por B, C e D.

Passo 3

Vou explicar um conceito importante que vamos usar: ângulo central e ângulo inscrito na mesma circunferência.
  • Ângulo central: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência (aqui, o ponto A). O ângulo B\hat{A}C é um ângulo central que subtende o arco BC.
  • Ângulo inscrito: é o ângulo cujo vértice está sobre a circunferência (aqui, D) e que também subtende o mesmo arco BC; esse é o ângulo B\hat{D}C.
Teorema (ângulo inscrito vs ângulo central): o ângulo inscrito que intercepta um mesmo arco tem medida igual à metade do ângulo central que intercepta esse arco. Em símbolos, se \theta é a medida do ângulo central que intercepta o arco BC, então qualquer ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco tem medida \tfrac{\theta}{2}.
Esboço de justificativa (intuição): ligando o centro A aos pontos B,C,D obtemos triângulos isósceles (porque são raios). A igualdade das bases desses triângulos leva, pelas propriedades dos ângulos da soma interna, à relação de que o ângulo inscrito vale metade do ângulo central correspondente. Essa é uma propriedade clássica de circunferências (pode ser provada desenhando os triângulos A B D e A C D e usando que os ângulos nas bases desses isósceles são iguais).

Passo 4

Aplicando o teorema: o ângulo central que intercepta o arco BC é B\hat{A}C, que mede 72^\circ (dado). Logo qualquer ângulo inscrito que intercepte o mesmo arco BC mede metade disso. Assim,
\angle B\hat{D}C = \tfrac{1}{2}\cdot \angle B\hat{A}C = \tfrac{1}{2}\cdot 72^\circ.

Passo 5

Calcule a metade:
\tfrac{1}{2}\cdot 72^\circ = 36^\circ.

Resposta

(a) 36^\circ

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