Seja A B C um triângulo qualquer com lados de medidas \overline{B C}=a, \overline{A C}=b e \overline{A B}=c. Seja ainda, D um ponto qualquer pertencente ao lado B C, tal que \overline{B D}=m e \overline{D C}=n. Se \overline{A D}=x, então podemos afirmar que
(a) b^{2} m+c^{2} n=a x^{2}
(b) b^{2}+c^{2}=a^{2}
(c) b^{2} m+c^{2} n=a\left(x^{2}+m n\right)
(d) b^{2} m+c^{2} n=a^{2}(x+m n)
(e) b m^{2}+c n^{2}=a\left(x^{2}+m n\right)

Passo 1

O enunciado dá um triângulo A B C com lados \overline{B C}=a, \overline{A C}=b e \overline{A B}=c. Um ponto D está sobre B C com \overline{B D}=m e \overline{D C}=n. Além disso \overline{A D}=x. Observações imediatas (pego do enunciado):
  • a=m+n.
    O que o enunciado pede: entre as alternativas (a)–(e), qual igualdade é verdadeira para qualquer configuração do triângulo e do ponto D?

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas simples para trabalhar com distâncias (isso não altera a generalidade).
  • Coloco B na origem: B=(0,0).
  • Coloco C no eixo x com coordenada a: C=(a,0).
  • Como D divide B C com \overline{B D}=m, fica D=(m,0).
  • Coloco A em coordenadas (u,h) com h>0 (qualquer posição acima do eixo dá um triângulo genérico).
Explico a fórmula que vou usar: a fórmula da distância entre dois pontos no plano é a versão do teorema de Pitágoras; se dois pontos são (x_1,y_1) e (x_2,y_2), então a distância ao quadrado é (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2.
Agora escrevo as distâncias dadas em termos de u e h:
c^{2} = \overline{A B}^{2} = u^{2}+h^{2},
b^{2} = \overline{A C}^{2} = (u-a)^{2}+h^{2},
x^{2} = \overline{A D}^{2} = (u-m)^{2}+h^{2}.

Passo 3

Expando a expressão para b^{2} para ficar tudo em termos de u,h,a:
b^{2} = (u-a)^{2}+h^{2} = u^{2}-2au+a^{2}+h^{2}.

Passo 4

Vou calcular a combinação m b^{2}+n c^{2} que aparece nas alternativas. Substituo as expressões obtidas:
m b^{2}+n c^{2} = m\bigl(u^{2}-2au+a^{2}+h^{2}\bigr) + n\bigl(u^{2}+h^{2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
m b^{2}+n c^{2} = (m+n)(u^{2}+h^{2}) - 2a m u + m a^{2}.
Como m+n=a, substituo:
m b^{2}+n c^{2} = a(u^{2}+h^{2}) - 2a m u + m a^{2}.

Passo 5

Repare que u^{2}+h^{2}=c^{2} (da expressão para c^{2} do Passo 2). Substituindo isso:
m b^{2}+n c^{2} = a c^{2} - 2a m u + m a^{2}.

Passo 6

Agora expresso x^{2} em termos de u,h,m para relacionar com a expressão acima:
x^{2} = (u-m)^{2}+h^{2} = u^{2}-2um+m^{2}+h^{2} = (u^{2}+h^{2}) - 2um + m^{2}.
Usando u^{2}+h^{2}=c^{2} fica
x^{2} = c^{2} - 2um + m^{2}.
Adicionando m n aos dois lados:
x^{2}+m n = c^{2} - 2um + m^{2} + m n.

Passo 7

Multiplico a expressão anterior por a:
a(x^{2}+m n) = a\bigl(c^{2} - 2um + m^{2} + m n\bigr).
Observe que m a^{2} que apareceu no Passo 5 pode ser reescrito usando a=m+n:
m a^{2} = m a\cdot a = a\cdot(m a) = a\bigl(m(m+n)\bigr) = a\bigl(m^{2}+m n\bigr).
Substituindo isso na expressão do Passo 5, obtemos
m b^{2}+n c^{2} = a\bigl(c^{2} - 2um + m^{2} + m n\bigr).
Mas o lado direito é exatamente a(x^{2}+m n) pela igualdade que acabamos de escrever. Portanto
m b^{2}+n c^{2} = a(x^{2}+m n).

Passo 8

Concluímos que a identidade verdadeira entre as alternativas é
b^{2} m + c^{2} n = a\bigl(x^{2} + m n\bigr).
Essa é exatamente a alternativa (c). (Essa identidade é conhecida como o teorema de Stewart.)

Resposta

(c)

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