Seja A B C um triângulo qualquer com lados de medidas \overline{B C}=a, \overline{A C}=b e \overline{A B}=c. Seja ainda, D um ponto qualquer pertencente ao lado B C, tal que \overline{B D}=m e \overline{D C}=n. Se \overline{A D}=x, então podemos afirmar que
(a) b^{2} m+c^{2} n=a x^{2}
(b) b^{2}+c^{2}=a^{2}
(c) b^{2} m+c^{2} n=a\left(x^{2}+m n\right)
(d) b^{2} m+c^{2} n=a^{2}(x+m n)
(e) b m^{2}+c n^{2}=a\left(x^{2}+m n\right)
Passo 1
O enunciado dá um triângulo A B C com lados \overline{B C}=a, \overline{A C}=b e \overline{A B}=c. Um ponto D está sobre B C com \overline{B D}=m e \overline{D C}=n. Além disso \overline{A D}=x. Observações imediatas (pego do enunciado):
a=m+n.
O que o enunciado pede: entre as alternativas (a)–(e), qual igualdade é verdadeira para qualquer configuração do triângulo e do ponto D?
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas simples para trabalhar com distâncias (isso não altera a generalidade).
Coloco B na origem: B=(0,0).
Coloco C no eixo x com coordenada a: C=(a,0).
Como D divide B C com \overline{B D}=m, fica D=(m,0).
Coloco A em coordenadas (u,h) com h>0 (qualquer posição acima do eixo dá um triângulo genérico).
Explico a fórmula que vou usar: a fórmula da distância entre dois pontos no plano é a versão do teorema de Pitágoras; se dois pontos são (x_1,y_1) e (x_2,y_2), então a distância ao quadrado é (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2.
Agora escrevo as distâncias dadas em termos de u e h:
c^{2} = \overline{A B}^{2} = u^{2}+h^{2},
b^{2} = \overline{A C}^{2} = (u-a)^{2}+h^{2},
x^{2} = \overline{A D}^{2} = (u-m)^{2}+h^{2}.
Passo 3
Expando a expressão para b^{2} para ficar tudo em termos de u,h,a:
b^{2} = (u-a)^{2}+h^{2} = u^{2}-2au+a^{2}+h^{2}.
Passo 4
Vou calcular a combinação m b^{2}+n c^{2} que aparece nas alternativas. Substituo as expressões obtidas:
m b^{2}+n c^{2} = m\bigl(u^{2}-2au+a^{2}+h^{2}\bigr) + n\bigl(u^{2}+h^{2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
m b^{2}+n c^{2} = (m+n)(u^{2}+h^{2}) - 2a m u + m a^{2}.
Como m+n=a, substituo:
m b^{2}+n c^{2} = a(u^{2}+h^{2}) - 2a m u + m a^{2}.
Passo 5
Repare que u^{2}+h^{2}=c^{2} (da expressão para c^{2} do Passo 2). Substituindo isso:
m b^{2}+n c^{2} = a c^{2} - 2a m u + m a^{2}.
Passo 6
Agora expresso x^{2} em termos de u,h,m para relacionar com a expressão acima: