(IBADE, 2019 - VITÓRIA-ES) Seja um quadrilátero A B C D com os ângulos dos vértices A e C retos e o ângulo B igual a 60^{\circ}. Sabendo que \overline{B C}=5 \sqrt{3} \mathrm{~cm} e \overline{C D}=9 \mathrm{~cm}. Determine a área do quadrilátero A B C D.
(a) 48 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
(b) 58 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
(c) 33 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
(d) 75 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados extraídos do enunciado:
Os ângulos dos vértices A e C são retos, ou seja \angle A = 90^\circ e \angle C = 90^\circ.
O ângulo no vértice B vale \angle B = 60^\circ.
O comprimento \overline{B C}=5\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
O comprimento \overline{C D}=9\\ \mathrm{cm}.
O que o enunciado pede:
Determinar a área do quadrilátero A B C D.
Observação imediata útil: como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360^\circ, temos \angle D = 360^\circ - (90^\circ+90^\circ+60^\circ)=120^\circ. (Isso pode ser útil para interpretação da figura.)
Passo 2
Escolha de coordenadas (truque clássico para quadriláteros com ângulos retos): colocar o vértice C na origem e alinhar \overline{B C} e \overline{C D} com os eixos coordenados, já que \angle C é reto.
Tomo C=(0,0).
Coloco \overline{B C} ao longo do eixo x. Como \overline{B C}=5\sqrt{3}, posso colocar B=(5\sqrt{3},0).
Coloco \overline{C D} ao longo do eixo y. Como \overline{C D}=9, posso colocar D=(0,9).
Explicação didática: essa escolha simplifica porque os dois segmentos que se encontram em C ficam sobre os eixos, aproveitando o ângulo reto em C. Essa técnica é muito usada para transformar relações métricas em equações simples.
Passo 3
Representar geometricamente o lado A B a partir da condição \angle B=60^\circ.
No ponto B, o segmento \overline{B C} aponta da esquerda para a origem; a direção de \overline{B C} (do ponto B para C) é o vetor (-5\sqrt{3},0), isto é, uma direção de 180^\circ.
O ângulo interior em B é o ângulo entre \overline{B A} e \overline{B C} e vale 60^\circ. Portanto, a direção de \overline{B A} faz com a direção de \overline{B C} um ângulo de 60^\circ.
Rotacionando a direção de \overline{B C} (180^\circ) em +60^\circ obtemos a direção de \overline{B A} com ângulo 180^\circ+60^\circ=240^\circ, ou rotacionando em -60^\circ obtemos 120^\circ. Para obter um quadrilátero convexo com A acima do eixo x escolhemos a direção com ângulo 120^\circ.
Vetorialmente, um vetor na direção 120^\circ tem componentes (\cos 120^\circ,\sin 120^\circ)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Seja t>0 o comprimento AB. Então o vetor \overrightarrow{B A} é\overrightarrow{B A}=t\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Assim as coordenadas de A sãoA = B+\overrightarrow{B A}=\Bigl(5\sqrt{3}-\tfrac{t}{2},\\ \tfrac{t\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Explicação didática: parametrizamos A com um parâmetro t (o comprimento AB), porque ainda falta impor a condição no vértice A (que é reto).
Passo 4
Impor a condição \angle A = 90^\circ. Essa condição significa que os segmentos \overline{A B} e \overline{A D} são perpendiculares, ou seja, os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A D} têm produto escalar zero.
Calcular a área do quadrilátero A B C D pelo método da fórmula do polígono (fórmula do determinante / “shoelace”). Explico a fórmula:
Para um polígono convexo cujas coordenadas são (x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n) em ordem, a área é\text{Área}=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i\bigr)\right|,Ácom (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1).
Aplico a fórmula aos vértices A\to B\to C\to D\to A.
Passo 8
Fazer os produtos e somas do shoelace passo a passo (cada termo em TeX):