(IBADE, 2019 - VITÓRIA-ES) Seja um quadrilátero A B C D com os ângulos dos vértices A e C retos e o ângulo B igual a 60^{\circ}. Sabendo que \overline{B C}=5 \sqrt{3} \mathrm{~cm} e \overline{C D}=9 \mathrm{~cm}. Determine a área do quadrilátero A B C D.
(a) 48 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
(b) 58 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
(c) 33 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
(d) 75 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Os ângulos dos vértices A e C são retos, ou seja \angle A = 90^\circ e \angle C = 90^\circ.
    • O ângulo no vértice B vale \angle B = 60^\circ.
    • O comprimento \overline{B C}=5\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
    • O comprimento \overline{C D}=9\\ \mathrm{cm}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a área do quadrilátero A B C D.
Observação imediata útil: como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360^\circ, temos \angle D = 360^\circ - (90^\circ+90^\circ+60^\circ)=120^\circ. (Isso pode ser útil para interpretação da figura.)

Passo 2

Escolha de coordenadas (truque clássico para quadriláteros com ângulos retos): colocar o vértice C na origem e alinhar \overline{B C} e \overline{C D} com os eixos coordenados, já que \angle C é reto.
  • Tomo C=(0,0).
  • Coloco \overline{B C} ao longo do eixo x. Como \overline{B C}=5\sqrt{3}, posso colocar B=(5\sqrt{3},0).
  • Coloco \overline{C D} ao longo do eixo y. Como \overline{C D}=9, posso colocar D=(0,9).
Explicação didática: essa escolha simplifica porque os dois segmentos que se encontram em C ficam sobre os eixos, aproveitando o ângulo reto em C. Essa técnica é muito usada para transformar relações métricas em equações simples.

Passo 3

Representar geometricamente o lado A B a partir da condição \angle B=60^\circ.
  • No ponto B, o segmento \overline{B C} aponta da esquerda para a origem; a direção de \overline{B C} (do ponto B para C) é o vetor (-5\sqrt{3},0), isto é, uma direção de 180^\circ.
  • O ângulo interior em B é o ângulo entre \overline{B A} e \overline{B C} e vale 60^\circ. Portanto, a direção de \overline{B A} faz com a direção de \overline{B C} um ângulo de 60^\circ.
  • Rotacionando a direção de \overline{B C} ( 180^\circ) em +60^\circ obtemos a direção de \overline{B A} com ângulo 180^\circ+60^\circ=240^\circ, ou rotacionando em -60^\circ obtemos 120^\circ. Para obter um quadrilátero convexo com A acima do eixo x escolhemos a direção com ângulo 120^\circ.
Vetorialmente, um vetor na direção 120^\circ tem componentes (\cos 120^\circ,\sin 120^\circ)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • Seja t>0 o comprimento AB. Então o vetor \overrightarrow{B A} é \overrightarrow{B A}=t\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • Assim as coordenadas de A são A = B+\overrightarrow{B A}=\Bigl(5\sqrt{3}-\tfrac{t}{2},\\ \tfrac{t\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Explicação didática: parametrizamos A com um parâmetro t (o comprimento AB), porque ainda falta impor a condição no vértice A (que é reto).

Passo 4

Impor a condição \angle A = 90^\circ. Essa condição significa que os segmentos \overline{A B} e \overline{A D} são perpendiculares, ou seja, os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A D} têm produto escalar zero.
  • \overrightarrow{A B} = B-A = -\overrightarrow{B A} = t\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • \overrightarrow{A D} = D-A = \Bigl(0-(5\sqrt{3}-\tfrac{t}{2}),\\\ 9-\tfrac{t\sqrt{3}}{2}\Bigr)=\Bigl(-5\sqrt{3}+\tfrac{t}{2},\\\ 9-\tfrac{t\sqrt{3}}{2}\Bigr).
A condição de perpendicularidade dá
\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A D}=0.
Agora calculamos o produto escalar passo a passo:
\begin{aligned} \overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A D} &= \left(t\tfrac{1}{2}\right)\left(-5\sqrt{3}+\tfrac{t}{2}\right) + \left(-t\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(9-\tfrac{t\sqrt{3}}{2}\right). \end{aligned}

Passo 5

Resolver a equação para t.
Continuando a expansão cuidadosamente:
\begin{aligned} \overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A D} &= \frac{t}{2}\left(-5\sqrt{3}+\frac{t}{2}\right) - \frac{t\sqrt{3}}{2}\left(9-\frac{t\sqrt{3}}{2}\right) \\\ &= -\frac{5\sqrt{3}\,t}{2} + \frac{t^2}{4} - \frac{9t\sqrt{3}}{2} + \frac{t^2(\sqrt{3})^2}{4} \\\ &= -\frac{5\sqrt{3}\,t}{2} - \frac{9\sqrt{3}\,t}{2} + \frac{t^2}{4} + \frac{3t^2}{4} \\\ &= -\frac{14\sqrt{3}\,t}{2} + t^2 \\\ &= -7\sqrt{3}\,t + t^2. \end{aligned}
Impondo que isso seja zero:
-7\sqrt{3}\,t + t^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t(t-7\sqrt{3})=0.
Como t>0 (é um comprimento), obtemos
t = 7\sqrt{3}.
Comentário didático: o produto escalar ser zero dá uma equação quadrática em t, mas aqui fatorou-se facilmente e encontramos t positivo.

Passo 6

Encontrar as coordenadas de A usando t=7\sqrt{3}.
  • Coordenada x_A: x_A = 5\sqrt{3} - \frac{t}{2} = 5\sqrt{3} - \frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}-7\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
  • Coordenada y_A: y_A = \frac{t\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \frac{7\cdot 3}{2}=\frac{21}{2}.
Portanto
A=\Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2},\\ \tfrac{21}{2}\Bigr).
Resumo dos vértices usados:
A=\Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2},\tfrac{21}{2}\Bigr),\quad B=(5\sqrt{3},0),\quad C=(0,0),\quad D=(0,9).

Passo 7

Calcular a área do quadrilátero A B C D pelo método da fórmula do polígono (fórmula do determinante / “shoelace”). Explico a fórmula:
  • Para um polígono convexo cujas coordenadas são (x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n) em ordem, a área é \text{Área}=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i\bigr)\right|,Ácom (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1).
Aplico a fórmula aos vértices A\to B\to C\to D\to A.

Passo 8

Fazer os produtos e somas do shoelace passo a passo (cada termo em TeX):
  • x_A y_B - x_B y_A = \Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr)\cdot 0 - (5\sqrt{3})\cdot\Bigl(\tfrac{21}{2}\Bigr) = -\frac{105\sqrt{3}}{2}.
  • x_B y_C - x_C y_B = (5\sqrt{3})\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0.
  • x_C y_D - x_D y_C = 0\cdot 9 - 0\cdot 0 = 0.
  • x_D y_A - x_A y_D = 0\cdot\Bigl(\tfrac{21}{2}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr)\cdot 9 = -\frac{27\sqrt{3}}{2}.
Somando todos os termos:
\sum (x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i)= -\frac{105\sqrt{3}}{2} + 0 + 0 -\frac{27\sqrt{3}}{2} = -\frac{132\sqrt{3}}{2}.
Valor absoluto:
\left|-\frac{132\sqrt{3}}{2}\right|=\frac{132\sqrt{3}}{2}=66\sqrt{3}.
Finalmente a área:
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot 66\sqrt{3}=33\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.Á

Passo 9

Interpretação final e conferência com as alternativas: o valor obtido é \;33\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

33\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2

Exercícios relacionados