O sistema dado envolve duas equações: uma com raízes quadradas e outra linear. O conteúdo da matéria é manipulação de radical e sistemas lineares, e vamos precisar usar as condições de existência das raízes quadradas e propriedades que relacionam soma e produto de expressões radicais.
Passo 2
Primeiro, garantimos o domínio das raízes quadradas. Para as expressões raiz2x-1y+2 e raizy+22x-1 serem válidas, precisamos ter
2x-1>0
e y+2>0
o que implica
x>tfrac12 e y>-2.
Passo 3
Definimos as variáveis auxiliares
A = raiz2x-1y+2,
B = raizy+22x-1
A partir da primeira equação do sistema temos A + B = 2 e, pelo produto das raízes, AB = raiz2x-1y+2cdoty+22x-1 = 1
Passo 4
Com A + B = 2 e AB = 1, vemos que A e B são raízes da equação
t^2 - 2t + 1 = 0,
cuja única solução é t=1
Logo A = 1 e B = 1.
Passo 5
Igualando A a 1, obtemos
2x-1y+2 = 1 implies 2x -1 = y +2 implies 2x - y = 3
Juntamente com a segunda equação x + y = 12, formamos o sistema linear 2x - y = 3, x + y = 12,
que, somando as duas, dá
3x = 15 implies x = 5,
o que leva a y = 12 - 5 = 7
Passo 6
Verificamos o domínio: x = 5 satisfaz x>tfrac12 e y = 7 satisfaz y>-2. Substituindo na equação original confirmamos