craiz2 x-1y+2+raizy+22 x-1=2 x+y=12

Passo 1

O sistema dado envolve duas equações: uma com raízes quadradas e outra linear. O conteúdo da matéria é manipulação de radical e sistemas lineares, e vamos precisar usar as condições de existência das raízes quadradas e propriedades que relacionam soma e produto de expressões radicais.

Passo 2

Primeiro, garantimos o domínio das raízes quadradas. Para as expressões raiz2x-1y+2 e raizy+22x-1 serem válidas, precisamos ter
2x-1>0
e
y+2>0
o que implica
x>tfrac12 e y>-2.

Passo 3

Definimos as variáveis auxiliares
A = raiz2x-1y+2,
B = raizy+22x-1
A partir da primeira equação do sistema temos A + B = 2 e, pelo produto das raízes,
AB = raiz2x-1y+2cdoty+22x-1 = 1

Passo 4

Com A + B = 2 e AB = 1, vemos que A e B são raízes da equação
t^2 - 2t + 1 = 0,
cuja única solução é
t=1
Logo A = 1 e B = 1.

Passo 5

Igualando A a 1, obtemos
2x-1y+2 = 1 implies 2x -1 = y +2 implies 2x - y = 3
Juntamente com a segunda equação x + y = 12, formamos o sistema linear
2x - y = 3, x + y = 12,
que, somando as duas, dá
3x = 15 implies x = 5,
o que leva a
y = 12 - 5 = 7

Passo 6

Verificamos o domínio: x = 5 satisfaz x>tfrac12 e y = 7 satisfaz y>-2. Substituindo na equação original confirmamos
raiztfrac2cdot5-17+2 + raiztfrac7+22cdot5-1 = raiz1 + raiz1 = 2
Tudo confere.

Resposta

x = 5 e y = 7

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