raiz2 x^2+3 x+5+raiz2 x^2-3 x+5=3 x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação com radicais raiz2x^2+3x+5 + raiz2x^2-3x+5 = 3x. O conteúdo é resolução de equações com radicais, e vamos precisar isolar termos, quadrar a equação e verificar domínio e possíveis raízes extranhas.

Passo 2

Análise do domínio: os radicandos 2x^2+3x+5 e 2x^2-3x+5 são sempre positivos (discriminantes negativos). A restrição vem do lado direito 3x, que pede 3x>=0. Logo, precisamos de x>=0.

Passo 3

Isolamento e primeiro quadrado: chamamos A=raiz2x^2+3x+5 e B=raiz2x^2-3x+5. Assim A+B=3x. Quadrando os dois lados:
A^2 + 2AB + B^2 = 9x^2

Passo 4

Como A^2+B^2=(2x^2+3x+5)+(2x^2-3x+5)=4x^2+10, temos
4x^2+10 + 2AB = 9x^2 implies AB = 5x^2-102

Passo 5

Segundo quadrado para eliminar AB:
(AB)^2 = l(5x^2-102r)^2 = 25x^4 -100x^2 +1004,
porém também
(AB)^2 = (2x^2+3x+5)(2x^2-3x+5) = 4x^4+11x^2+25

Passo 6

Igualando e multiplicando por 4:
16x^4 +44x^2 +100 = 25x^4 -100x^2 +100 implies -9x^4 +144x^2 = 0 implies 9x^2(x^2-16)=0

Passo 7

Daí x^2=0 ou x^2=16, ou seja, x=0,4,-4. Mas pelo domínio x>=0 ficamos com x=0 ou x=4.

Passo 8

Verificação final: para x=0 o lado esquerdo é 2raiz5 e não zero, então é extranho. Para x=4 temos
raiz49+raiz25=7+5=12=3cdot4,
logo só x=4 satisfaz a equação.

Resposta

x = 4

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