raizx+2-raiz2 x-3=raizx-1

Passo 1

A gente quer resolver a equação com radicais raizx+2-raiz2x-3=raizx-1. O conteúdo aqui é equação irracional e vamos precisar determinar o domínio dos radicais, isolar um radical, elevar ao quadrado duas vezes e depois fazer a checagem final.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio. Para que todos os radicais existam, precisamos ter
x+2>=0, 2x-3>=0, x-1>=0
Isso dá
x>=-2, x>=tfrac32, x>=1,
logo o domínio é x>=tfrac32.

Passo 3

Em seguida, isolamos um radical. Podemos escrever
raizx+2=raiz2x-3+raizx-1

Passo 4

Elevar ao quadrado essa igualdade leva a
x+2=(2x-3)+(x-1)+2raiz(2x-3)(x-1)
que simplifica para
x+2=3x-4+2raiz(2x-3)(x-1)
Isolando o radical:
2raiz(2x-3)(x-1)=x+2-(3x-4)=6-2x,
ou seja
raiz(2x-3)(x-1)=-x+3

Passo 5

Agora elevamos de novo ao quadrado:
(2x-3)(x-1)=(-x+3)^2
Expandindo:
2x^2-5x+3=x^2-6x+9
o que resulta em
x^2+x-6=0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática x^2+x-6=0 pelo método usual:
x=-1pmraiz1+242=-1pm52,
ou seja x=2 ou x=-3. Mas o domínio exige x>=1.5, então só resta x=2.

Passo 7

Por fim, fazemos a checagem substituindo em raizx+2-raiz2x-3=raizx-1:
raiz4-raiz1=2-1=1eraiz1=1,
funciona direitinho. Portanto x=2 é a única solução.

Resposta

2

Exercícios relacionados