craiz[4]x^3+raiz[5]y^3=35 raiz[4]x+raiz[5]y=5

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema com radicais:\
raiz[4]x^3 + raiz[5]y^3 = 35, raiz[4]x + raiz[5]y = 5
O conteúdo envolve manipulação de radicais e identidade de soma de cubos. Vamos usar uma substituição para simplificar.

Passo 2

Definimos as variáveis de substituição:
a = raiz[4]x, b = raiz[5]y
Então temos
raiz[4]x^3 = a^3, raiz[5]y^3 = b^3
O sistema fica
a^3 + b^3 = 35, a + b = 5

Passo 3

Usamos a identidade de soma de cubos:
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)
Substituindo a + b = 5 em
a^3 + b^3 = 35,
temos
35 = 5^3 - 3abcdot5 = 125 -15ab,
logo
15ab = 90 implies ab = 6

Passo 4

Os valores de a e b satisfazem a equação quadrática
t^2 - (a+b)t + ab = 0
ou seja
t^2 -5t +6 = 0
As raízes são
t = 2 e t = 3
Portanto (a,b) é (2,3) ou (3,2).

Passo 5

Voltando às variáveis originais:
x = a^4, y = b^5,
obtemos duas soluções:
(x,y) = (2^4,3^5) = (16,243) e (x,y) = (3^4,2^5) = (81,32)

Resposta

As soluções do sistema são (x,y) = (16,243) e (x,y) = (81,32).

Exercícios relacionados