Para todos os valores reais do parâmetro a, solucione a equação
(log 2 3)^raizx+a+2=(log 9 4)^raizx^2+a^2-6 a-5

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação que precisamos resolver:
(log 2 3)^raizx+a+2 = (log 9 4)^raizx^2+a^2-6 a-5
Aqui, estamos lidando com logaritmos de bases diferentes e potências que envolvem expressões com e . Para resolver essa equação, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e transformar as bases para facilitar a comparação dos expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o logaritmo do lado direito da equação. Note que log9 4 = log3 4log3 9 = log3 42 é (log 2 3)^raizx+a+2 = (log3 42)^raizx^2+a^2-6 a-5 , então podemos reescrever usando a mudança de base:
Portanto, a equação fica:

Passo 3

Vamos trabalhar com as potências agora. Para que duas potências com bases diferentes sejam iguais, seus expoentes devem estar relacionados de forma que as bases possam ser comparadas diretamente. Uma maneira de fazer isso é usando logaritmos naturais nos dois lados da equação para facilitar a comparação:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
raizx+a+2 cdot ln(log2 3) = raizx^2+a^2-6 a-5 cdot ln(log3 42)

Passo 4

Agora, para simplificar a equação, podemos isolar as raízes quadradas. Dividindo ambos os lados por raizx+a+2 = ln(log3 42)ln(log2 3) cdot raizx^2+a^2-6 a-5 :
k = ln(log3 42)ln(log2 3)
Vamos chamar o coeficiente que está multiplicando a raiz quadrada do lado direito de raizx+a+2 = k cdot raizx^2+a^2-6 a-5 :
Então, a equação fica:

Passo 5

Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(raizx+a+2)^2 = (k cdot raizx^2+a^2-6 a-5)^2
Isso simplifica para:
x + a + 2 = k^2 cdot (x^2 + a^2 - 6a - 5)

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para termos uma expressão quadrática em k^2 x^2 + k^2 (a^2 - 6a - 5) - x - a - 2 = 0 :
k^2 x^2 - x + k^2 (a^2 - 6a - 5) - a - 2 = 0
Rearranjando os termos:

Passo 7

Esta é uma equação quadrática na forma x = -B pm raizB^2 - 4AC2A , onde:
  • x = 1 pm raiz1 - 4 cdot k^2 cdot [k^2 (a^2 - 6a - 5) - a - 2]2k^2
Podemos resolver para usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Resposta

A solução da equação para x = 1 pm raiz1 - 4k^2 [k^2 (a^2 - 6a - 5) - a - 2]2k^2 em função de k = ln(log3 42)ln(log2 3) é:
onde

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