Determine todos os valores de a para os quais a inequação
x^2+4 x+6 a|x+2|+9 a^2 <= 0
tenha no máximo uma solução real.

Passo 1

A questão pede os valores de a para os quais a inequação x^2+4x+6a|x+2|+9a^2<=0 tem no máximo uma solução real. O assunto envolve manipular valor absoluto e estudar quando uma função quadrática em |x+2| não produz mais de uma raiz. Vamos precisar fazer mudança de variável para eliminar o módulo e analisar uma parábola em t=|x+2|.

Passo 2

Fazendo a troca y=x+2, temos x=y-2 e
x^2+4x=(y-2)^2+4(y-2)=y^2-4
Logo a inequação vira
y^2-4+6a|y|+9a^2<=0

Passo 3

Como |y|>=0, defina t=|y|. Então é equivalente a estudar a parábola
g(t)=t^2+6a t+9a^2-4 sujeita a t>=0, e ver quantos t satisfazem g(t)<=0.

Passo 4

O discriminante de g(t) é
,Deentão as raízes são
t1,2=-6apm42=-3apm2

Passo 5

Para g(t)<=0, precisa t entre essas raízes, ou seja
tinl[-3a-2,,-3a+2r]cap[0,infty)

Passo 6

Para que a inequação em x tenha no máximo uma solução real, só pode haver no máximo uma solução y. Se existisse t0>0 na solução, teríamos dois y=pm t0 e, portanto, duas soluções em x. Então a única forma de ter ≤1 solução é:
  • ou não existir nenhum t>=0 que satisfaça (isso gera 0 soluções em x),
  • ou o único t será t=0 (isso gera exatamente 1 solução em x, que é x=-2).

Passo 7

Analisando as posições das raízes:
  • Se a>tfrac23, então -3a+2<0 e também -3a-2<0. Logo o intervalo de solução fica todo negativo, não há t>=0. Isso dá 0 soluções em x.
  • Se a=tfrac23, as raízes são -3cdottfrac23pm2=-4,0. Então só t=0 satisfaz g(t)<=0, dando exatamente uma solução x=-2.
  • Se a, pelo menos uma raiz fica ≥0 e gera um intervalo com pontos t>0, produzindo sempre pelo menos duas soluções em x.

Passo 8

Portanto, a condição desejada é a>=tfrac23.

Resposta

a\geq\tfrac{2}{3}

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