Determine todos os valores de a para os quais a inequação
tenha no máximo uma solução real.
Passo 1
A questão pede os valores de
para os quais a inequação
tem no máximo uma solução real. O assunto envolve manipular valor absoluto e estudar quando uma função quadrática em
não produz mais de uma raiz. Vamos precisar fazer mudança de variável para eliminar o módulo e analisar uma parábola em
.
Passo 2
Fazendo a troca
, temos
e
Logo a inequação vira
Passo 3
Como
, defina
. Então é equivalente a estudar a parábola
Passo 4
O discriminante de
é
Passo 5
Para
, precisa
entre essas raízes, ou seja
Passo 6
Para que a inequação em
tenha no máximo uma solução real, só pode haver no máximo uma solução
. Se existisse
na solução, teríamos dois
e, portanto, duas soluções em
. Então a única forma de ter ≤1 solução é:
- ou não existir nenhum
que satisfaça (isso gera 0 soluções em ), - ou o único
será (isso gera exatamente 1 solução em , que é ).
Passo 7
Analisando as posições das raízes:
- Se
, então e também . Logo o intervalo de solução fica todo negativo, não há . Isso dá 0 soluções em . - Se
, as raízes são . Então só satisfaz , dando exatamente uma solução . - Se
, pelo menos uma raiz fica ≥0 e gera um intervalo com pontos , produzindo sempre pelo menos duas soluções em .
Passo 8
Portanto, a condição desejada é
.
Resposta
a\geq\tfrac{2}{3}