Com o crescente aumento do número de veículos em circulação no Brasil e a padronização com o modelo mercosul, foi instituído um novo modelo de placas trocando apenas a posição de um algarísmo por uma letra.
Exemplo:
Quantas placas com 4 letras e 4 algarismos podem atualmente ser criadas no estilo mercosul no Brasil?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas placas com 4 letras e 4 algarismos podem atualmente ser criadas no estilo mercosul no Brasil?”\n
Informações e suposições que vou usar (não perguntei nada, já assumi o que é mais natural):
  • Cada placa tem 8 posições no total, sendo exatamente 4 dessas posições ocupadas por letras e 4 por algarismos.
  • O alfabeto usado tem 26 letras (suponho que todas as letras do alfabeto latino possam aparecer e que repetições sejam permitidas).
  • Os algarismos possíveis são os 10 dígitos 0,1,\dots,9 (também com repetição permitida).
  • As posições das letras e dos algarismos podem aparecer em qualquer ordem (ou seja, primeiro escolhemos quais 4 das 8 posições serão letras, depois atribuímos as letras e os algarismos).
  • Repetições são permitidas tanto para letras quanto para dígitos (isso é padrão em placas).

Passo 2

Ideia geral do método (princípio multiplicativo + contagem de posições):
  • Primeiro escolhemos quais 4 posições dentre as 8 serão ocupadas por letras.
  • Para cada escolha de posições, contamos quantas maneiras diferentes podemos preencher as posições de letras e as de dígitos.
  • Aplicamos o princípio multiplicativo: o total é (número de escolhas de posições) × (número de maneiras de colocar letras nas posições escolhidas) × (número de maneiras de colocar dígitos nas posições restantes).

Passo 3

Contando as escolhas das posições das letras:
  • O número de formas de escolher quais 4 das 8 posições serão letras é dado por uma combinação:
\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!\,4!}.
  • Calculemos explicitamente:
\binom{8}{4} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 70.

Passo 4

Contando as maneiras de preencher as letras e os dígitos (com repetição):
  • Cada posição de letra pode ser escolhida entre 26 possibilidades e temos 4 dessas posições, logo o número de escolhas de letras é
26^4.
  • Cada posição de dígito pode ser escolhida entre 10 possibilidades e temos 4 dessas posições, logo o número de escolhas de dígitos é
10^4.
  • Explicação rápida: quando as escolhas em posições diferentes são independentes e repetição é permitida, contamos por potenciação (por exemplo, duas posições com 3 opções cada dá 3^2 possibilidades).

Passo 5

Combinação das contagens pelo princípio multiplicativo:
  • Multiplicando as partes:
\binom{8}{4}\cdot 26^4 \cdot 10^4.
  • Vamos calcular passo a passo os valores numéricos:
26^2 = 676,\quad 26^4 = 676^2 = 456976.
10^4 = 10000.
456976 \cdot 10000 = 4569760000.
70 \cdot 4569760000 = 319883200000.
  • Portanto o número total de placas possíveis sob essas hipóteses é 319883200000.

Resposta

319883200000

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