Exercício: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou
Sabendo que o desvio padrão é
, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância
.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (listei tudo que o enunciado dá e o que pede):
- O processo deveria produzir bancadas com altura nominal
m. - O engenheiro suspeita que as bancadas produzidas são diferentes do especificado (ou seja, a suspeita é de diferença, não de maior ou menor especificamente).
- Foi coletada uma amostra de tamanho
e a média amostral observada é . - O desvio padrão populacional é conhecido:
. - Nível de significância dado:
.
O que o enunciado pede: testar a hipótese do engenheiro (ou seja, verificar estatisticamente se a média das alturas difere de
m) ao nível de significância
.
Passo 2
Formulação das hipóteses (lembre: a suspeita do engenheiro é de “diferente”, então é um teste bilateral):
Explicação:
é a hipótese nula que afirma que a média real é a especificada;
é a hipótese alternativa que diz que a média é diferente (pode ser maior ou menor). Não resolvemos nada ainda, só colocamos as hipóteses.
Passo 3
Escolha do método e estatística de teste: como o desvio padrão populacional
é conhecido, usamos o teste z para a média. A estatística de teste é a padronização da média amostral:
onde:
-
é a média amostral (aqui ), -
é a média sob (aqui ), -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ).
Breve aula: essa estatística mede quantos erros-padrão a média amostral está distante da média hipotética. O denominador
chama-se erro-padrão da média e quantifica a variabilidade esperada de
.
Passo 4
Calcular o erro-padrão numericamente:
Calculemos
. Temos
. Então
Interpretação numérica: o erro-padrão é cerca de
m (ou
cm). Isso significa que, por acaso amostral, a média costuma variar nessa ordem.
Passo 5
Calcular a estatística
:
Interpretação: a média amostral está aproximadamente
erros-padrão acima da média hipotética — é uma distância muito grande em termos de variabilidade amostral.
Passo 6
Decisão pelo valor crítico e pelo p-valor:
- Valor crítico (teste bilateral, nível
): os quantis críticos da normal padrão para são com . Logo a região crítica é .
Comparando:
, portanto
cai na região crítica e rejeitamos
.
- Cálculo (aproximado) do p-valor: para teste bilateral,
Com
, a cauda da normal padrão em
é praticamente zero; numericamente o p-valor é extremamente pequeno (muito menor que
, certamente
). O importante é que o p-valor
, confirmando a rejeição de
.
Passo 7
Interpretação final em linguagem natural e contextualizada (útil para escrever a conclusão na prova): rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância
. Isso significa que há evidência estatística forte de que a altura média das bancadas produzidas é diferente de
m — a média observada
m é suficientemente discrepante, dada a variabilidade conhecida e o tamanho da amostra, para concluir que o processo não está produzindo a altura especificada.
Força motivacional rápida: deu um número bem alto (
), então a discrepância não é sutil — bom sinal para você na prova: aplicação direta da fórmula e interpretação clara.
Resposta
Decisão: Rejeitar
.
Conclusão: Há evidência ao nível de que a altura média das bancadas é diferente de
m.
Conclusão: Há evidência ao nível