Exercício: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou \bar{X}=0,87 Sabendo que o desvio padrão é \sigma=0,010, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0 , 0 5}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (listei tudo que o enunciado dá e o que pede):
  • O processo deveria produzir bancadas com altura nominal \,0{,}85 m.
  • O engenheiro suspeita que as bancadas produzidas são diferentes do especificado (ou seja, a suspeita é de diferença, não de maior ou menor especificamente).
  • Foi coletada uma amostra de tamanho n=8 e a média amostral observada é \bar{X}=0{,}87.
  • O desvio padrão populacional é conhecido: \sigma=0{,}010.
  • Nível de significância dado: \alpha=0{,}05.
O que o enunciado pede: testar a hipótese do engenheiro (ou seja, verificar estatisticamente se a média das alturas difere de \,0{,}85 m) ao nível de significância \alpha=0{,}05.

Passo 2

Formulação das hipóteses (lembre: a suspeita do engenheiro é de “diferente”, então é um teste bilateral):
H_0:\mu=0{,}85
H_1:\mu\neq0{,}85
Explicação: H_0 é a hipótese nula que afirma que a média real é a especificada; H_1 é a hipótese alternativa que diz que a média é diferente (pode ser maior ou menor). Não resolvemos nada ainda, só colocamos as hipóteses.

Passo 3

Escolha do método e estatística de teste: como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, usamos o teste z para a média. A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{X}=0{,}87),
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui \mu_0=0{,}85),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=0{,}010),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=8).
Breve aula: essa estatística mede quantos erros-padrão a média amostral está distante da média hipotética. O denominador \sigma/\sqrt{n} chama-se erro-padrão da média e quantifica a variabilidade esperada de \bar{X}.

Passo 4

Calcular o erro-padrão numericamente:
\text{Erro-padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}010}{\sqrt{8}}.ã
Calculemos \sqrt{8}. Temos \sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2{,}828427. Então
\frac{0{,}010}{\sqrt{8}}=\frac{0{,}010}{2{,}828427}\approx0{,}0035355.
Interpretação numérica: o erro-padrão é cerca de 0{,}0035355 m (ou 0{,}35355 cm). Isso significa que, por acaso amostral, a média costuma variar nessa ordem.

Passo 5

Calcular a estatística Z:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{0{,}87-0{,}85}{0{,}0035355}=\frac{0{,}02}{0{,}0035355}\approx5{,}6569.
Interpretação: a média amostral está aproximadamente 5{,}657 erros-padrão acima da média hipotética — é uma distância muito grande em termos de variabilidade amostral.

Passo 6

Decisão pelo valor crítico e pelo p-valor:
  1. Valor crítico (teste bilateral, nível \alpha=0{,}05): os quantis críticos da normal padrão para \alpha/2=0{,}025 são \pm z_{0{,}975} com z_{0{,}975}\approx1{,}96. Logo a região crítica é |Z|>1{,}96.
Comparando: |Z|=5{,}6569>1{,}96, portanto Z cai na região crítica e rejeitamos H_0.
  1. Cálculo (aproximado) do p-valor: para teste bilateral,
\text{p-valor}=2\bigl(1-\Phi(|Z|)\bigr).
Com |Z|\approx5{,}657, a cauda da normal padrão em 5{,}657 é praticamente zero; numericamente o p-valor é extremamente pequeno (muito menor que 0{,}001, certamente <0{,}00001). O importante é que o p-valor <\alpha, confirmando a rejeição de H_0.

Passo 7

Interpretação final em linguagem natural e contextualizada (útil para escrever a conclusão na prova): rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância \alpha=0{,}05. Isso significa que há evidência estatística forte de que a altura média das bancadas produzidas é diferente de \,0{,}85 m — a média observada \,0{,}87 m é suficientemente discrepante, dada a variabilidade conhecida e o tamanho da amostra, para concluir que o processo não está produzindo a altura especificada.
Força motivacional rápida: deu um número bem alto ( Z\approx5{,}66), então a discrepância não é sutil — bom sinal para você na prova: aplicação direta da fórmula e interpretação clara.

Resposta

Decisão: Rejeitar H_0.
Conclusão: Há evidência ao nível \alpha=0{,}05 de que a altura média das bancadas é diferente de 0{,}85 m.

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