O Crescimento de uma cultura bacteriana em um meio de cultura é dado por d Nd t= alpha N-beta N^2, onde N(t) é o número de bactérias no tempo t, alpha é a taxa de crescimento e beta é a taxa de competição entre as bactérias. Se inicialmente há 100 bactérias em um meio de cultura, com uma taxa de crescimento de 0.5 bactérias/hora e uma taxa de competição de 0.002 bactérias ^-1 hora ^-1, quanto tempo levará para o número de bactérias atingir 500 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de uma cultura bacteriana, que é modelado por uma equação diferencial. O conteúdo principal aqui é Cálculo Diferencial, especificamente Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como separar variáveis e integrar equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
dNdt = alpha N - beta N^2
Aqui, $ N(t) $ representa o número de bactérias no tempo $ t $, $ \alpha = 0.5 $ bactérias/hora é a taxa de crescimento, e $ \beta = 0.002 $ bactérias N(t) hora t é a taxa de competição entre as bactérias.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tempo $ t $ necessário para que o número de bactérias $ N(t) $ atinja 500, sabendo que inicialmente $ N(0) = 100 $.

Passo 4

Vamos começar separando as variáveis na equação diferencial. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com $ N $ fiquem de um lado e os termos com $ t $ do outro:
N

Passo 5

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Podemos fatorar $ N $ no denominador:
N

Passo 6

Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Queremos expressar $ \frac{1}{N(\alpha - \beta N)} $ como a soma de duas frações mais simples:
1N(alpha - beta N)
Encontramos os valores de $ A $ e $ B $ resolvendo a equação:
1N(alpha - beta N) = AN + Balpha - beta N
Ao resolver, descobrimos que $ A = \frac{1}{\alpha} $ e $ B = \frac{1}{\alpha} $.

Passo 7

Substituindo $ A $ e $ B $ na expressão original, temos:
A

Passo 8

Agora, podemos integrar ambos os lados:
integral 1alpha ( 1N + 1alpha - beta N ) dN = integral dt

Passo 9

Integrando, obtemos:
1alpha ln|N| - 1alpha ln|alpha - beta N| = t + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 10

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
1alpha ln( Nalpha - beta N ) = t + C

Passo 11

Aplicando as condições iniciais $ N(0) = 100 $, substituímos $ t = 0 $ e $ N = 100 $ para encontrar $ C $:
N(0) = 100
Calculando dentro do logaritmo:
t = 0
Então:
N = 100
C

Passo 12

Agora, queremos saber o tempo $ t $ para $ N = 500 $. Usamos a equação geral com $ N = 500 $:
t
Calculando dentro do logaritmo:
N = 500
Mas note que o logaritmo de um número negativo não está definido no conjunto dos números reais, o que indica que o modelo não permite que $ N $ atinja 500 sob as condições dadas, pois a população não pode exceder $ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{0.5}{0.002} = 250 $.

Resposta

Não é possível que o número de bactérias atinja 500 com as taxas de crescimento e competição fornecidas, já que o limite máximo da população é 250 bactérias.

Exercícios relacionados