O Crescimento de uma cultura bacteriana em um meio de cultura é dado por
, onde
é o número de bactérias no tempo
,
é a taxa de crescimento e
é a taxa de competição entre as bactérias. Se inicialmente há 100 bactérias em um meio de cultura, com uma taxa de crescimento de 0.5 bactérias/hora e uma taxa de competição de 0.002 bactérias
hora
, quanto tempo levará para o número de bactérias atingir 500 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de uma cultura bacteriana, que é modelado por uma equação diferencial. O conteúdo principal aqui é Cálculo Diferencial, especificamente Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como separar variáveis e integrar equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
Aqui, $ N(t) $ representa o número de bactérias no tempo $ t $, $ \alpha = 0.5 $ bactérias/hora é a taxa de crescimento, e $ \beta = 0.002 $ bactérias
hora
é a taxa de competição entre as bactérias.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o tempo $ t $ necessário para que o número de bactérias $ N(t) $ atinja 500, sabendo que inicialmente $ N(0) = 100 $.
Passo 4
Vamos começar separando as variáveis na equação diferencial. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com $ N $ fiquem de um lado e os termos com $ t $ do outro:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Podemos fatorar $ N $ no denominador:
Passo 6
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Queremos expressar $ \frac{1}{N(\alpha - \beta N)} $ como a soma de duas frações mais simples:
Encontramos os valores de $ A $ e $ B $ resolvendo a equação:
Ao resolver, descobrimos que $ A = \frac{1}{\alpha} $ e $ B = \frac{1}{\alpha} $.
Passo 7
Substituindo $ A $ e $ B $ na expressão original, temos:
Passo 8
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Passo 9
Integrando, obtemos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 10
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 11
Aplicando as condições iniciais $ N(0) = 100 $, substituímos $ t = 0 $ e $ N = 100 $ para encontrar $ C $:
Calculando dentro do logaritmo:
Então:
Passo 12
Agora, queremos saber o tempo $ t $ para $ N = 500 $. Usamos a equação geral com $ N = 500 $:
Calculando dentro do logaritmo:
Mas note que o logaritmo de um número negativo não está definido no conjunto dos números reais, o que indica que o modelo não permite que $ N $ atinja 500 sob as condições dadas, pois a população não pode exceder $ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{0.5}{0.002} = 250 $.
Resposta
Não é possível que o número de bactérias atinja 500 com as taxas de crescimento e competição fornecidas, já que o limite máximo da população é 250 bactérias.