Determine se a série converge.
sumk=1^infty arctg k1+k^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumk=1^infty arctan k1+k^2 converge. Vamos usar conceitos de séries de termos positivos, teste de comparação e comportamento assintótico da função arctan x.

Passo 2

Para aplicar um teste de comparação, precisamos de um limite ou de uma desigualdade que relacione arctan k1+k^2 com uma série-p. Observamos que arctan k é crescente em k e está sempre entre 0 e pi2. Logo, para todo k>=1 vale
0

Passo 3

Com essa desigualdade, temos
0
Como 1+k^2>= k^2, segue
pi/21+k^2<= pi/2k^2
Sabemos que sumk=1^infty 1k^2 é convergente (série-p com p=2>1). Pelo teste da comparação direta, a nossa série original também converge.

Passo 4

Opcionalmente, podemos confirmar por teste da comparação em limite. Definindo ak=arctan k1+k^2 e bk=1k^2, calcula-se
limktoinftyakbk=limktoinftyarctan k1+k^2cdot k^2 =limktoinftyarctan k1+1/k^2=pi/21=pi2>0
Como sum bk converge, pelo teste de comparação por limite, sum ak também converge.

Resposta

A série converge.

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