Determine se a série converge.
sumk=1^infty k^2 e^-k^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumk=1^infty k^2 e^-k^3. O conteúdo é convergência de séries de termos positivos e vamos precisar usar o teste da razão (ou, alternativamente, o teste da integral) para verificar se ela converge.

Passo 2

Definimos o termo geral ak = k^2 e^-k^3. No teste da razão, calculamos o quociente ak+1ak para ver se ele tende a um valor menor que 1.
Escrevendo o quociente, temos:
ak+1ak = (k+1)^2 e^-(k+1)^3k^2 e^-k^3 = (k+1)^2k^2 ; e^-( (k+1)^3 - k^3 )
Observamos que
(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1,
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ak+1ak = (k+1)^2k^2 ; e^-(3k^2+3k+1)

Passo 3

Para k to infty, temos (k+1)^2k^2 to 1 e e^-(3k^2+3k+1) to 0. Portanto,
L = limktoinfty ak+1ak = 0 < 1
Pelo teste da razão, se L<1 a série converge absolutamente. Concluímos que a série sumk=1^infty k^2 e^-k^3 converge.

Resposta

Converge.

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