O Resfriamento de um café é dado por d Td t=-k(T-Ta), onde T(t) é a temperatura do café no tempo t, Ta é a temperatura ambiente e k é uma constante que depende da área de superfície do café e das propriedades do líquido. Supondo que um café esteja inicialmente a 80^circ C em um ambiente a 25^circ C e que a constante de resfriamento seja k=0.02 min^-1, quanto tempo levará para o café esfriar até 40^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o resfriamento de um café, que segue a equação diferencial d Td t=-k(T-Ta). Aqui, T(t) é a temperatura do café no tempo t, Ta é a temperatura ambiente, e k é uma constante. Precisamos descobrir quanto tempo leva para o café esfriar de 80^circ C para 40^circ C em um ambiente de 25^circ C, com k=0.02 min^-1. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de resfriamento: d Td t=-k(T-Ta). Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que descreve como a temperatura do café muda ao longo do tempo devido à diferença entre a temperatura do café e a temperatura ambiente.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis. Reescrevendo:
d TT - Ta = -k , dt
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre T e t.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
integral 1T - Ta , dT = -k integral dt
A integral da esquerda dá ln|T - Ta| e a da direita dá -kt + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Então, temos:
ln(T - Ta) = -kt + C
Para encontrar C, usamos a condição inicial. Quando t = 0, T = 80^circ C.
ln(80 - 25) = C ln(55) = C

Passo 6

Substituindo C de volta na equação:
ln(T - 25) = -0.02t + ln(55)
Para simplificar, podemos reescrever:
ln(T - 2555) = -0.02t

Passo 7

Agora, vamos resolver para t quando T = 40^circ C:
ln(40 - 2555) = -0.02t ln(1555) = -0.02t ln(311) = -0.02t

Passo 8

Calculando ln(311):
ln(311) approx ln(0.2727) approx -1.2993
Então:
-1.2993 = -0.02t t = 1.29930.02 t approx 64.965 , minutos

Resposta

O café levará aproximadamente 65 minutos para esfriar de 80^circ C para 40^circ C.

Exercícios relacionados