O Resfriamento de um café é dado por
, onde
é a temperatura do café no tempo
é a temperatura ambiente e
é uma constante que depende da área de superfície do café e das propriedades do líquido. Supondo que um café esteja inicialmente a
em um ambiente a
e que a constante de resfriamento seja
, quanto tempo levará para o café esfriar até
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o resfriamento de um café, que segue a equação diferencial
. Aqui,
é a temperatura do café no tempo
,
é a temperatura ambiente, e
é uma constante. Precisamos descobrir quanto tempo leva para o café esfriar de
para
em um ambiente de
, com
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de resfriamento:
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que descreve como a temperatura do café muda ao longo do tempo devido à diferença entre a temperatura do café e a temperatura ambiente.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis. Reescrevendo:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Integrando ambos os lados:
A integral da esquerda dá
e a da direita dá
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Então, temos:
Para encontrar
, usamos a condição inicial. Quando
,
.
Passo 6
Substituindo
de volta na equação:
Para simplificar, podemos reescrever:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
quando
:
Passo 8
Calculando
:
Então:
Resposta
O café levará aproximadamente 65 minutos para esfriar de
para
.