O crescimento de uma cultura de bactérias obedece a função P(t)=C e^{k t}, onde P(t) é o numero de bactérias no instante t, C e k são constantes positivas.
Uma substancia radioativa esta em processo de desintegração e é descrita por Q(t)= C e^{-k t}, onde Q(t) é a quantidade do elemento quimico no instante t, C e k são constantes positivas. Se a meia-vida desse elemento é 1600 anos, qual será aproximadamente a sua quantidade após 100 anos?

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de decaimento radioativo
Q(t)=C\,e^{-k\,t}
com constante k>0 e informa que a meia-vida é 1600 anos. Queremos encontrar Q(100), a quantidade após 100 anos, em função de C.

Passo 2

Pela definição de meia-vida, temos
Q(1600)=\frac{C}{2}
logo
C\,e^{-k\cdot1600}=\frac{C}{2}
Cancelando C em ambos os lados e aplicando logaritmo natural, chega-se a
e^{-1600\,k}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -1600\,k=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2
portanto
k=\frac{\ln2}{1600}.

Passo 3

Agora calculamos
Q(100) = C\,e^{-k\cdot100} = C\,\exp\!\Bigl(-100\cdot\frac{\ln2}{1600}\Bigr) = C\,\exp\!\Bigl(-\frac{100}{1600}\ln2\Bigr).

Passo 4

Note que
\exp\!\Bigl(-\tfrac{100}{1600}\ln2\Bigr) =\exp\!\Bigl(-\tfrac{1}{16}\ln2\Bigr) =2^{-\tfrac{1}{16}}.
Numericamente
2^{-\tfrac{1}{16}}\approx0{,}958
ou seja, cerca de 95{,}8\% da quantidade inicial.

Resposta

Q(100)=C\,2^{-\tfrac{1}{16}}\approx0{,}958\,C.

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