O crescimento de uma cultura de bactérias obedece a função P(t)=C e^{k t}, onde P(t) é o numero de bactérias no instante t, C e k são constantes positivas.
Verificando que o numero inicial de bacterias P(0) duplicou em 4 horas, quantas bacterias se pode esperar ao fim de 6 horas?

Passo 1

O enunciado diz que o número de bactérias em função do tempo é dado por
P(t)=C\,e^{k t},
onde C=P(0) e k>0. Sabemos que em 4 horas a população duplicou, isto é, P(4)=2P(0). Precisamos achar k e, em seguida, calcular P(6).

Passo 2

Usando a condição de duplicação em 4 horas:
P(4)=C\,e^{4k}=2C.
Dividindo ambos os lados por C e aplicando logaritmo natural:
e^{4k}=2 \quad\Longrightarrow\quad 4k=\ln(2) \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\ln(2)}{4}.

Passo 3

Agora calculamos P(6):
P(6)=C\,e^{6k} =C\,e^{6\cdot\frac{\ln(2)}{4}} =C\,e^{\frac{6}{4}\ln(2)} =C\,2^{\frac{6}{4}} =C\,2^{\tfrac{3}{2}} =2\sqrt{2}\;C.

Resposta

P(6)=2\sqrt{2}\;P(0).

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