Determine quais das seguintes sequências são ou não monótonas.
\left(n^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_n = n^{2} + \frac{1}{n^{2}}
é monótona.
Conteúdo: definição de sequência monótona (crescente ou decrescente) e teste via diferença entre termos consecutivos.

Passo 2

Relembrando: uma sequência (a_n) é estritamente crescente se, para todo n\in\mathbb{N},
a_{n+1} - a_n > 0.
Vamos calcular essa diferença para a nossa sequência.

Passo 3

Calculemos
a_{n+1} - a_n = \Bigl((n+1)^2 + \tfrac{1}{(n+1)^2}\Bigr) - \Bigl(n^2 + \tfrac{1}{n^2}\Bigr).
Separe em duas partes:
(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1,
\frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - (n+1)^2}{n^2 (n+1)^2} = -\,\frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2}.
Logo,
a_{n+1} - a_n = (2n+1)\;-\;\frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2} = (2n+1)\Bigl(1 - \frac{1}{n^2 (n+1)^2}\Bigr).

Passo 4

Para todo n\ge1, temos 2n+1>0 e
1 - \frac{1}{n^2 (n+1)^2}>1 - 1 = 0.
Portanto,
a_{n+1} - a_n > 0 \quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.

Resposta

A sequência \bigl(n^{2} + \tfrac{1}{n^{2}}\bigr) é estritamente crescente, logo é monótona crescente.

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