Determine o domínio e o contradomínio de g(x)=\ln \left(x^{2}+1\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o contradomínio da função g(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr). Vamos usar a condição de existência do logaritmo e depois estudar quais valores a expressão x^2+1 pode assumir para obter a imagem de g.

Passo 2

Para existir \ln(u) é necessário u>0. Aqui u(x)=x^2+1. Como para todo x\in\mathbb{R} vale x^2\ge0, temos
x^2+1\ge1>0.
Logo não há restrição em x e
\mathrm{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}.

Passo 3

Definimos y=g(x)=\ln(x^2+1). O menor valor de x^2+1 é 1, quando x=0, de modo que
y_{\min}=\ln(1)=0.
À medida que |x|\to\infty, x^2+1\to\infty e, portanto, \ln(x^2+1)\to\infty. Como g é contínua em todo \mathbb{R}, ela assume todos os valores de 0 até +\infty. Assim, a imagem (contradomínio efetivo) é
[0,\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Contradomínio: [0,\infty)

Exercícios relacionados