Determine se a série converge.
sumk=1^infty kln (k+1)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumk=1^infty kln(k+1). Isso envolve análise do comportamento do termo geral e uso de testes de convergência.

Passo 2

O teste de divergência diz que, se o termo geral ak não tende a zero quando ktoinfty, então a série sum ak diverge.
Aqui o termo geral é ak=kln(k+1). Vamos calcular o limite:

Passo 3

Calculando limktoinfty kln(k+1): como o numerador cresce linearmente e o denominador apenas logaritmicamente, o quociente cresce sem limite, ou seja,
limktoinftykln(k+1)=infty

Passo 4

Como o termo geral não tende a zero, pelo teste de divergência a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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