O crescimento da levedura de panificação (Saccharomyces cerevisiae) em glicose pode ser descrito pela seguinte equação:
\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}+3 \mathrm{O}_{2}+0,48 \mathrm{NH}_{3} \rightarrow 0,48 \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{NO}_{3}+3,12 \mathrm{CO}_{2}+4,32 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
Levedura
Em um reator batelada de 100.000 L , a concentração final desejada de levedura é 50 gmassa seca/L. Usando a equação estequiométrica fornecida acima:
a) Determine a concentração de glicose e de \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4} no meio nutriente;
b) Determine os valores dos coeficientes de rendimento \mathrm{Y}_{\mathrm{X} / \mathrm{S}} e \mathrm{Y}_{\mathrm{X} / \mathrm{O} 2 \text {; }}
c) O valor calculado para \mathrm{Y}_{\mathrm{X} / \mathrm{S}} é compatível com o esperado? Justifique;
d) O meio formulado tem a glicose como nutriente limitante? Como torná-la o nutriente limitante?

Passo 1

Vou esclarecer o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Dados do enunciado (diretamente da reação estequiométrica fornecida):
    • Equação global (peguei a equação do enunciado): \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_{6} + 3\,\mathrm{O}_2 + 0,48\,\mathrm{NH}_3 \rightarrow 0,48\,\mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{10}\mathrm{NO}_3 + 3,12\,\mathrm{CO}_2 + 4,32\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}
    • Reator batelada com volume 100{.}000\\ \mathrm{L}.
    • Concentração final desejada de biomassa (levedura, massa seca) X_{\text{final}} = 50\\ \mathrm{g/L}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar a concentração de glicose e de (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4 no meio nutritivo que correspondem a essa produção de biomassa, usando a equação estequiométrica.
    (b) Determinar os coeficientes de rendimento Y_{X/S} e Y_{X/O_2}.
    (c) Dizer se o valor calculado para Y_{X/S} é compatível com o esperado, justificando.
    (d) Dizer se o meio formulado tem glicose como nutriente limitante e explicar como torná-la limitante.
Observações antes de começar: vou converter os coeficientes estequiométricos em rendimentos em massa (g/g) usando massas molares; calcularei a quantidade necessária por litro e também para o reator inteiro quando pertinente.

Passo 2

Calcular as massas molares necessárias (vou mostrar como e por que).
  • Massa molar da glicose \mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6:
    M_{\text{s}} = 6\cdot 12{,}01 + 12\cdot 1{,}008 + 6\cdot 16{,}00 = 180{,}16\\ \mathrm{g/mol}.
    Explicação rápida: multiplica-se o número de átomos de cada elemento pelo seu peso atômico e soma-se tudo.
  • Massa molar da “biomassa” modelada como \mathrm{C}_6\mathrm{H}_{10}\mathrm{NO}_3:
    M_X = 6\cdot 12{,}01 + 10\cdot 1{,}008 + 14{,}01 + 3\cdot 16{,}00 = 144{,}15\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar do \mathrm{O}_2:
    M_{O_2} = 2\cdot 16{,}00 = 32{,}00\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar do sulfato de amônio (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4:
    M_{salt} = 2\cdot(14{,}01 + 4\cdot 1{,}008) + 32{,}06 + 4\cdot 16{,}00 = 132{,}14\\ \mathrm{g/mol}.
    Observação: cada mol deste sal fornece 2 mol de nitrogênio na forma de \mathrm{NH}_4^+.

Passo 3

Determinar o rendimento estequiométrico Y_{X/S} (massa de biomassa produzida por massa de glicose consumida) a partir da reação dada.
  • Pela estequiometria: para cada 1 mol de glicose consumida forma-se 0{,}48 mol de biomassa. Em massa isso significa: \text{massa de biomassa (por mol glicose)} = 0{,}48\cdot M_X.
\text{massa de glicose (por mol glicose)} = 1\cdot M_s.
  • Portanto, o rendimento em massa é Y_{X/S} = \frac{0{,}48\cdot M_X}{M_s}.Substituindo os valores: Y_{X/S} = \frac{0{,}48\cdot 144{,}15}{180{,}16} = \frac{69{,}192}{180{,}16} \approx 0{,}384.Interpretação: a equação prevê que se obtêm cerca de 0{,}384\\ \mathrm{g\;biomassa} para cada 1\\ \mathrm{g} de glicose consumida.

Passo 4

Usar Y_{X/S} para calcular a concentração de glicose necessária para atingir 50\\ \mathrm{g/L} de biomassa.
  • Relação direta: \text{massa de glicose necessária por litro} = \dfrac{X}{Y_{X/S}}á, onde X é massa de biomassa desejada ( 50\\ \mathrm{g/L}). S_{\text{req}} = \frac{50}{0{,}384} \approx 130{,}1\\ \mathrm{g/L}.
  • Em massa total para o reator de 100{.}000\\ \mathrm{L}: \text{massa total de glicose} = 130{,}1\\ \mathrm{g/L}\cdot 100{.}000\\ \mathrm{L} = 13{.}010{.}000\\ \mathrm{g} = 13{.}010\\ \mathrm{kg}.
Explicação didática: o rendimento Y_{X/S} diz quantos gramas de células se formam por grama de glicose. Se quero 50 g de células por litro, divido por esse rendimento para saber quantos gramas de glicose preciso por litro.

Passo 5

Calcular a necessidade de nitrogênio e converter para quantidade de (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4.
  • Observando a fórmula da biomassa \mathrm{C}_6\mathrm{H}_{10}\mathrm{NO}_3, cada mol de biomassa contém 1 mol de nitrogênio. Pela estequiometria da reação, a incorporação de nitrogênio ocorre via \mathrm{NH}_3 e, olhando a reação, por 1 mol de biomassa necessita-se efetivamente 1 mol de \mathrm{NH}_3 (já que a reação mostrou 0{,}48 mol biomassa por 0{,}48 mol \mathrm{NH}_3 → razão 1:1 por mol biomassa).
  • Assim, por mol de biomassa é necessário 1 mol de N (na forma de \mathrm{NH}_3). Em massa: \text{massa } \mathrm{NH}_3 \text{ por mol biomassa} = M_{NH_3} = 17{,}03\\ \mathrm{g/mol}.Mas queremos converter para (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4: cada mol de (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4 fornece 2 mol de N (ou 2 mol \mathrm{NH}_3 equivalentes). Então, o número de mols de sal por mol de biomassa é 1/2.
  • Massa de sal por mol de biomassa: \text{massa de }(\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4 \text{ por mol biomassa} = \frac{1}{2}\cdot M_{salt} = \frac{1}{2}\cdot 132{,}14 = 66{,}07\\ \mathrm{g}.
  • Em termos por grama de biomassa: como 1 mol de biomassa pesa M_X = 144{,}15\\ \mathrm{g}, a massa de sal por grama de biomassa é \frac{66{,}07}{144{,}15} \approx 0{,}4584\\ \mathrm{g\;salt/g\;biomassa}.
  • Portanto, para 50\\ \mathrm{g/L} de biomassa: (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4\\ \text{necessário} = 0{,}4584\cdot 50 \approx 22{,}92\\ \mathrm{g/L}.á
  • Massa total no reator: 22{,}92\\ \mathrm{g/L}\cdot 100{.}000\\ \mathrm{L} = 2{.}292{.}000\\ \mathrm{g} = 2{.}292\\ \mathrm{kg}.
Didática rápida: primeiro descobriu-se quantos mols de N são necessários por mol de biomassa (1 mol). Depois converteu-se isso para quantos mols do sal de amônio são precisos (metade, porque cada mol do sal tem 2 N), e daí para gramas por grama de biomassa.

Passo 6

Calcular Y_{X/O_2} (rendimento biomassa por oxigênio).
  • Pela estequiometria: cada mol de glicose consome 3 mol de \mathrm{O}_2 e gera 0{,}48 mol de biomassa. Em massa: Y_{X/O_2} = \frac{0{,}48\cdot M_X}{3\cdot M_{O_2}}.Substituindo: Y_{X/O_2} = \frac{69{,}192}{3\cdot 32{,}00} = \frac{69{,}192}{96{,}00} \approx 0{,}721\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;O_2}.
Interpretação: cerca de 0{,}72\\ \mathrm{g} de biomassa por grama de oxigênio consumido, segundo a equação.

Passo 7

Avaliar se o valor de Y_{X/S} calculado é compatível com o esperado (questão (c)).
  • Valores típicos de rendimento para microrganismos aeróbios (como levedura em condições favoráveis) em glicose costumam ficar em torno de 0{,}4 a 0{,}6\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;glicose} dependendo da cepa, condições e respiração/fermentação.
  • Nosso valor teórico aqui Y_{X/S}\approx 0{,}384 está um pouco abaixo do intervalo médio superior, mas é perfeitamente plausível: a equação mostra produção significativa de \mathrm{CO}_2 (parte do carbono é oxidadada), o que reduz o rendimento em carbono para biomassa. Além disso, rendimentos experimentais dependem de manutenção, rendimento energético, e possibilidade de fermentação (que produz menos biomassa por glicose). Portanto: o valor calculado é razoável e compatível como um rendimento teórico baseado nessa estequiometria; rendimentos experimentais podem ser maiores ou menores conforme condições operacionais.

Passo 8

Responder se a glicose é nutriente limitante e como torná-la limitante (questão (d)).
  • Na formulação que calculámos, escolhemos as quantidades de glicose ( \approx 130{,}1\\ \mathrm{g/L}) e de (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4 ( \approx 22{,}92\\ \mathrm{g/L}) de modo que ambas permitam atingir exatamente 50\\ \mathrm{g/L} de biomassa com base na estequiometria. Portanto, com esses valores ambas estão balanceadas: nenhuma está em excesso em relação à outra — elas são estequiometricamente balanceadas para a produção alvo. Em termos práticos, isso significa que a glicose não é, per se, o único nutriente limitante — o sistema está dimensionado para que tanto C quanto N se esgotem aproximadamente juntos ao atingir 50\\ \mathrm{g/L}.
  • Como tornar a glicose o nutriente limitante? Existem duas maneiras simples:
    1. Fornecer nitrogênio em excesso (aumentar (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4), mantendo a glicose em 130{,}1\\ \mathrm{g/L}. Exemplo prático: dobrar o (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4 para \approx 45\\ \mathrm{g/L} — assim haverá N em excesso e o consumo de glicose (ou outra limitação) passará a controlar o fim do crescimento.
    2. Reduzir a glicose abaixo de 130{,}1\\ \mathrm{g/L} mantendo o N em 22{,}92\\ \mathrm{g/L}. Por exemplo, se colocar glicose = 65\\ \mathrm{g/L} (metade), então glicose será limitante e impedirá atingir 50\\ \mathrm{g/L} de biomassa.
  • Regra prática: para tornar um nutriente limitante, fornecê-lo em quantidade menor que a demanda estequiométrica correspondente ao outro nutriente, ou então fornecer o outro nutriente em excesso.

Resposta

(a) Glicose: 130{,}1\\ \mathrm{g/L}. (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4: 22{,}92\\ \mathrm{g/L}.
(b) Y_{X/S}\approx 0{,}384\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;glicose}. \;Y_{X/O_2}\approx 0{,}721\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;O_2}.
(c) Sim: Y_{X/S}\approx 0{,}384 é razoável/compatível com a estequiometria apresentada e está dentro da ordem de grandeza de rendimentos observados para leveduras (valores reais variam conforme condições; o valor é um rendimento teórico consistente com a presença de oxidação a \mathrm{CO}_2).
(d) Não: com as quantidades calculadas glicose e nitrogênio estão balanceados para atingir 50\\ \mathrm{g/L} (nenhuma é claramente limitante). Para tornar a glicose limitante, reduzir a glicose abaixo de 130{,}1\\ \mathrm{g/L} ou fornecer (\mathrm{NH}_4)_2\mathrm{SO}_4 em excesso (por exemplo dobrar o sal para \approx 45\\ \mathrm{g/L}) para garantir nitrogênio sobrando.

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