O crescimento de uma população de bactérias é descrito pela seguinte equação logística de primeira ordem:
d Pd t=r P(1-PK)
onde:
  • P(t) é a população de bactérias no tempo t,
  • r é a taxa de crescimento intrínseco,
  • K é a capacidade de suporte do ambiente (o valor máximo que a população pode alcançar).
    Dado que P(0)=P0 (população inicial), determine a solução P(t) em função de t, P0, r e K.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial logística que descreve o crescimento de uma população de bactérias ao longo do tempo. O conteúdo envolve o estudo de equações diferenciais e modelos de crescimento populacional. Para resolver isso, precisamos usar técnicas de separação de variáveis e integrar a equação para encontrar uma expressão de $ P(t) $ em função do tempo $ t $, da população inicial $ P_0 $, da taxa de crescimento $ r $ e da capacidade de suporte $ K $.

Passo 2

A equação dada é:
dPdt = r P (1 - PK)
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para isolar $ P $ de um lado e $ t $ do outro.

Passo 3

Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por $ P(1 - \frac{P}{K}) $ e multiplicando por $ dt $:
P(1 - PK)
Agora, temos $ P $ de um lado e $ t $ do outro, prontos para serem integrados.

Passo 4

Precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode parecer complicada, mas podemos simplificar usando frações parciais. Primeiro, reescrevemos a fração:
1P (1 - PK) = 1P + 1K - P
Então, a equação se torna:
integral ( 1P + 1K - P ) dP = integral r , dt

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente:
ln|P| - ln|K - P| = r t + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Podemos combinar os logaritmos:
C

Passo 6

Para resolver para $ P $, primeiro eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
P
Podemos reescrever $ e^{C} $ como uma nova constante $ C’ $:
PK - P = e^r t + C

Passo 7

Agora, resolvemos para $ P $:
P
Distribuindo $ C’ e^{r t} $:
P = C' e^r t (K - P)
Levando os termos com $ P $ para um lado:
C' e^r t
Fatorando $ P $:
P = C' K e^r t - C' e^r t P
Isolando $ P $:
P

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial $ P(0) = P_0 $ para encontrar $ C’ $. Substituindo $ t = 0 $:
P(0) = P0
Resolvendo para $ C’ $:
C'

Passo 9

Finalmente, substituímos $ C’ $ de volta na expressão para $ P(t) $:
C'
Simplificando:
P(t)

Resposta

A solução para $ P(t) $ é:
P(t)

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