O crescimento de uma população de bactérias é descrito pela seguinte equação logística de primeira ordem:
onde:
-
é a população de bactérias no tempo
,
-
é a taxa de crescimento intrínseco,
-
é a capacidade de suporte do ambiente (o valor máximo que a população pode alcançar).
Dado que
(população inicial), determine a solução
em função de
e
.
Dado que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial logística que descreve o crescimento de uma população de bactérias ao longo do tempo. O conteúdo envolve o estudo de equações diferenciais e modelos de crescimento populacional. Para resolver isso, precisamos usar técnicas de separação de variáveis e integrar a equação para encontrar uma expressão de $ P(t) $ em função do tempo $ t $, da população inicial $ P_0 $, da taxa de crescimento $ r $ e da capacidade de suporte $ K $.
Passo 2
A equação dada é:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para isolar $ P $ de um lado e $ t $ do outro.
Passo 3
Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por $ P(1 - \frac{P}{K}) $ e multiplicando por $ dt $:
Agora, temos $ P $ de um lado e $ t $ do outro, prontos para serem integrados.
Passo 4
Precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode parecer complicada, mas podemos simplificar usando frações parciais. Primeiro, reescrevemos a fração:
Então, a equação se torna:
Passo 5
Agora, integramos cada termo separadamente:
Onde $ C $ é a constante de integração. Podemos combinar os logaritmos:
Passo 6
Para resolver para $ P $, primeiro eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos reescrever $ e^{C} $ como uma nova constante $ C’ $:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ P $:
Distribuindo $ C’ e^{r t} $:
Levando os termos com $ P $ para um lado:
Fatorando $ P $:
Isolando $ P $:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial $ P(0) = P_0 $ para encontrar $ C’ $. Substituindo $ t = 0 $:
Resolvendo para $ C’ $:
Passo 9
Finalmente, substituímos $ C’ $ de volta na expressão para $ P(t) $:
Simplificando:
Resposta
A solução para $ P(t) $ é: