Utilizando o teorema da convolução, resolva:
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a EDO
com condições iniciais
,
, usando o teorema da convolução via transformada de Laplace.
Passo 2
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados. Como
, temos:
Passo 3
Isolando
:
Passo 4
Reconheço que
$$\frac{1}{s^2+4}=\mathcal{L}{\tfrac12\sin2t},\quad \frac{3}{s^2+9}=\mathcal{L}{\sin3t}.
Passo 5
Para calcular a integral, uso a identidade produto-para-soma:
$$\sin2(t-\tau)\sin3\tau=\frac{\cos\bigl(2(t-\tau)-3\tau\bigr)-\cos\bigl(2(t-\tau)+3\tau\bigr)}2
=\frac{\cos(2t-5\tau)-\cos(2t+\tau)}2.
y(t)=\frac12\int_0^t\frac{\cos(2t-5\tau)-\cos(2t+\tau)}2,d\tau
=\frac14\int_0^t[\cos(2t-5\tau)-\cos(2t+\tau)],d\tau.$$
Passo 6
Faço as integrais separadas e simplifico:
Então