Utilizando o teorema da convolução, resolva:
y^prime prime+4 y=sen 3 t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO y''+4y=sin3t com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, usando o teorema da convolução via transformada de Laplace.

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados. Como y(0)=y'(0)=0, temos:
Ly''(s)+4,Ly(s)=3s^2+9 implies s^2Y(s)+4Y(s)=3s^2+9

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)=3(s^2+4)(s^2+9)

Passo 4

Reconheço que
$$\frac{1}{s^2+4}=\mathcal{L}{\tfrac12\sin2t},\quad \frac{3}{s^2+9}=\mathcal{L}{\sin3t}.
1s^2+4=Ltfrac12sin2t, 3s^2+9=Lsin3t çãçõíçãy(t)=\int_0^t\Bigl(\tfrac12\sin2(t-\tau)\Bigr),\sin3\tau,d\tau.$$

Passo 5

Para calcular a integral, uso a identidade produto-para-soma:
$$\sin2(t-\tau)\sin3\tau=\frac{\cos\bigl(2(t-\tau)-3\tau\bigr)-\cos\bigl(2(t-\tau)+3\tau\bigr)}2
=\frac{\cos(2t-5\tau)-\cos(2t+\tau)}2. sin2(t-tau)sin3tau=cosl(2(t-tau)-3taur)-cosl(2(t-tau)+3taur)2 =cos(2t-5tau)-cos(2t+tau)2y(t)=\frac12\int_0^t\frac{\cos(2t-5\tau)-\cos(2t+\tau)}2,d\tau
=\frac14\int_0^t[\cos(2t-5\tau)-\cos(2t+\tau)],d\tau.$$

Passo 6

Faço as integrais separadas e simplifico:
integral0^tcos(2t-5tau)dtau&=15[sin(2t-5tau)]0^t=15(sin3t+sin2t), integral0^tcos(2t+tau)dtau&=[sin(2t+tau)]0^t=sin3t-sin2t
Então
y(t)=14l(tfrac15(sin3t+sin2t)-(sin3t-sin2t)r) =310sin2t-15sin3t

Resposta

y(t)=tfrac310sin2t-tfrac15sin3t.

Exercícios relacionados