Encontre a série de Fourier da função
, de período
.
Passo 1
Estamos com a função periódica de período p=1 dada por f(x)=cos(πx) em (-½,½). O objetivo é obter sua série de Fourier completa (coeficientes a₀, aₙ e bₙ).
Passo 2
Como o período é p=1, temos L=p/2=½. A fórmula geral da série de Fourier em um intervalo simétrico [−L,L] é:
Passo 3
A função cos(πx) é par em [−½,½], logo bₙ=0 para todo n, e só teremos termos em cosseno de frequência kₙ= nπ/L = 2πn.
Passo 4
O coeficiente a₀ é dado por
então o termo constante vale a₀/2 = 2/π.
Passo 5
Para n≥1,
Usando que o integrando é par e a identidade cosA·cosB = (1/2)[cos(A+B)+cos(A−B)] e integrando, obtém-se após simplificar
Passo 6
Portanto, bn=0 e temos todos os coeficientes necessários para montar a série.
Resposta
A série de Fourier de f(x)=\cos(πx) (período 1) em (−½,½) é