Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L.
f(x)=cos pi x (-12

Passo 1

Estamos com a função periódica de período p=1 dada por f(x)=cos(πx) em (-½,½). O objetivo é obter sua série de Fourier completa (coeficientes a₀, aₙ e bₙ).

Passo 2

Como o período é p=1, temos L=p/2=½. A fórmula geral da série de Fourier em um intervalo simétrico [−L,L] é:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancosl(tfracnpi xLr)+bnsinl(tfracnpi xLr)r)

Passo 3

A função cos(πx) é par em [−½,½], logo bₙ=0 para todo n, e só teremos termos em cosseno de frequência kₙ= nπ/L = 2πn.

Passo 4

O coeficiente a₀ é dado por
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx=2integral-1/2^1/2cos(pi x),dx=2cdot2pi=4pi,
então o termo constante vale a₀/2 = 2/π.

Passo 5

Para n≥1,
an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(tfracnpi xLr)dx=2integral-1/2^1/2cos(pi x)cos(2pi n x),dx
Usando que o integrando é par e a identidade cosA·cosB = (1/2)[cos(A+B)+cos(A−B)] e integrando, obtém-se após simplificar
an=4(-1)^n+1pi,(4n^2-1)

Passo 6

Portanto, bn=0 e temos todos os coeficientes necessários para montar a série.

Resposta

A série de Fourier de f(x)=\cos(πx) (período 1) em (−½,½) é
f(x)=2pi+sumn=1^infty4(-1)^n+1pi,(4n^2-1)cosl(2pi n xr)

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