Se a e b são números reais satisfazendo
(raiz[3]a-raiz[3]b)(raiz[3]a^2+raiz[3]a b+raiz[3]b^2)=5 e a^2-b^2=45
é CORRETO afirmar que 2 a+3 b é igual a:
a) 20
b) 10
c) 15
d) 25

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações envolvendo números reais a e b: a primeira é
(raiz[3]a-raiz[3]b)(raiz[3]a^2+raiz[3]ab+raiz[3]b^2)=5
e a segunda é
a^2-b^2=45
O conteúdo envolve identidades algébricas: diferença de cubos e diferença de quadrados.

Passo 2

Para a primeira equação, usamos a identidade de diferença de cubos. Se definirmos x= raiz[3]a e y= raiz[3]b, então
(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3
Logo,
(raiz[3]a-raiz[3]b)(raiz[3]a^2+raiz[3]ab+raiz[3]b^2)=a-b=5

Passo 3

Na segunda equação, reconhecemos diferença de quadrados:
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Substituindo a-b=5, temos
5(a+b)=45
portanto
a+b=9

Passo 4

Agora temos o sistema linear
a-b=5,a+b=9
Somando as duas equações, obtemos 2a=14 e, assim, a=7. Subtraindo, obtemos 2b=4 e, assim, b=2.

Passo 5

Bastapara finalizar, calculamos
2a+3b=2cdot7+3cdot2=14+6=20

Resposta

20

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