Sabe-se que ab=cd=k e ab+a^2-c^2b^2-d^2=20, onde a, b, c e d são números inteiros, distintos e positivos. Então, é CORRETO afirmar que o valor de k é:
a) 5
b) 3
c) 6
d) 4

Passo 1

O enunciado diz que tfracab=tfraccd=k e que tfracab+tfraca^2-c^2b^2-d^2=20, onde a,b,c,d são inteiros positivos, distintos. O conteúdo aqui é simplificação de expressões racionais e resolução de equações quadráticas, e vamos usar substituições para transformar tudo em função de k.

Passo 2

Como tfracab=k e tfraccd=k, podemos escrever
a=kb
e
c=kd
Com isso, vamos substituir essas expressões na fração tfraca^2-c^2b^2-d^2.

Passo 3

Calculando o numerador:
a^2-c^2=(kb)^2-(kd)^2=k^2(b^2-d^2)
Logo,
a^2-c^2b^2-d^2=k^2(b^2-d^2)b^2-d^2=k^2
Substituindo na equação original tfracab+tfraca^2-c^2b^2-d^2=20, temos
k+k^2=20 .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
k^2+k-20=0
Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
k=-1pmraiz1+802=-1pm92
Isso dá k=4 ou k=-5, mas k precisa ser positivo, então k=4.

Passo 5

Para checar a existência de a,b,c,d distintos, escolha por exemplo b=1 e d=2. Aí a=4 e c=8, e todos os quatro números são positivos e diferentes. Portanto, a solução válida é k=4.

Resposta

4

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