Crescimento populacional A Modelagem da população de uma espécie de bactéria em um ambiente controlado é dada por d yd t=k y, onde y(t) representa a população de bactérias no tempo t e k é uma constante que representa a taxa de crescimento. Se inicialmente havia 100 bactérias e a taxa de crescimento é de 0.2 bactérias por hora, quantas bactérias haverá após 5 horas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de crescimento populacional. A gente tem uma equação que descreve como a população de bactérias cresce ao longo do tempo. Precisamos usar conceitos de equações diferenciais para achar quantas bactérias teremos depois de 5 horas. Vamos precisar da fórmula que resolve essa equação e substituir os valores que a gente conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve o crescimento das bactérias: dydt = k y. Isso significa que a taxa de crescimento da população é proporcional ao número atual de bactérias. Aqui, y(t) é a população no tempo t e k é a constante de crescimento.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, usamos a solução geral de uma equação de crescimento exponencial:
y(t) = y0 cdot e^k t
Onde:
- $ y_0 $ é a população inicial,
- $ k $ é a taxa de crescimento,
- $ e $ é a base do logaritmo natural,
- $ t $ é o tempo.

Passo 4

No nosso caso, a população inicial $ y_0 $ é 100 bactérias e a taxa de crescimento $ k $ é 0.2 por hora. Queremos saber quantas bactérias teremos após 5 horas, ou seja, quando $ t = 5 $.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
y(5) = 100 cdot e^0.2 cdot 5
y(5) = 100 cdot e^1

Passo 6

Sabemos que $ e^{1} $ é aproximadamente 2.718. Então:
e^1
y(5) = 100 cdot 2.718

Resposta

Após 5 horas, haverá aproximadamente 271,8 bactérias.

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